与えられた数列 $\frac{1}{1}, \frac{1}{2}, \frac{3}{2}, \frac{1}{3}, \frac{3}{3}, \frac{5}{3}, \frac{1}{4}, \frac{3}{4}, \frac{5}{4}, \frac{7}{4}, \frac{1}{5}, \dots$ について、以下の問いに答える。 (1) $\frac{5}{8}$ は第何項か。 (2) この数列の第800項を求めよ。 (3) この数列の初項から第800項までの和を求めよ。

1. 問題の内容

与えられた数列 $\frac{1}{1}, \frac{1}{2}, \frac{3}{2}, \frac{1}{3}, \frac{3}{3}, \frac{5}{3}, \frac{1}{4}, \frac{3}{4}, \frac{5}{4}, \frac{7}{4}, \frac{1}{5}, \dots$ について、以下の問いに答える。

(1) $\frac{5}{8}$ は第何項か。

(2) この数列の第800項を求めよ。

(3) この数列の初項から第800項までの和を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた数列の規則性を把握する。数列は分母が同じ項ごとにグループ分けできる。

第$n$グループは分母が$n$で、分子は$1, 3, 5, \dots, 2n-1$ と並んでいる。

第$n$グループの項数は$n$個である。

(1) $\frac{5}{8}$が第何項かを求める。

$\frac{5}{8}$ は第8グループにあり、分子が5なので、第3項である。

第7グループまでの項数の合計は $1+2+3+4+5+6+7 = \frac{7(7+1)}{2} = 28$ である。

したがって、$\frac{5}{8}$は第 $28 + 3 = 31$ 項である。

(2) 第800項を求める。

第$n$グループまでの項数の合計は $\frac{n(n+1)}{2}$ である。

$\frac{n(n+1)}{2} \le 800$ を満たす最大の整数 $n$ を求める。

$n(n+1) \le 1600$

$n^2 + n - 1600 \le 0$

$n \approx \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 4 \times 1600}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{6401}}{2} \approx \frac{-1 \pm 80}{2}$

$n \approx 39.5$

$n = 39$ のとき、$\frac{39 \times 40}{2} = 780$

$n = 40$ のとき、$\frac{40 \times 41}{2} = 820$

したがって、第800項は第40グループに含まれる。

$800 - 780 = 20$ より、第800項は第40グループの20番目の項である。

第40グループの分子は $1, 3, 5, \dots, 2n-1$ であり、一般項は $2k-1$ である。

20番目の項の分子は $2 \times 20 - 1 = 39$ である。

したがって、第800項は $\frac{39}{40}$ である。

(3) 初項から第800項までの和を求める。

第39グループまでの和は、

$\sum_{n=1}^{39} \sum_{k=1}^{n} \frac{2k-1}{n} = \sum_{n=1}^{39} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} (2k-1) = \sum_{n=1}^{39} \frac{1}{n} (2 \frac{n(n+1)}{2} - n) = \sum_{n=1}^{39} \frac{1}{n} (n^2 + n - n) = \sum_{n=1}^{39} n = \frac{39 \times 40}{2} = 780$

第40グループの最初の20項の和は、

$\sum_{k=1}^{20} \frac{2k-1}{40} = \frac{1}{40} \sum_{k=1}^{20} (2k-1) = \frac{1}{40} (2 \frac{20 \times 21}{2} - 20) = \frac{1}{40} (420 - 20) = \frac{400}{40} = 10$

したがって、初項から第800項までの和は $780 + 10 = 790$ である。

3. 最終的な答え

(1) 31

(2) $\frac{39}{40}$

(3) 790