(1) 関数 $y = x[x]$ （$0 \le x < 3$）のグラフを描け。ここで $[x]$ はガウス記号（$x$ を超えない最大の整数）を表す。 (2) $a$ を正の定数とする。曲線 $y = ax^2 + \frac{5}{2}$ と (1) のグラフが相異なる2つの共有点をもつような $a$ の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

(1) 関数 $y = x[x]$ （$0 \le x < 3$）のグラフを描け。ここで $[x]$ はガウス記号（$x$ を超えない最大の整数）を表す。

(2) $a$ を正の定数とする。曲線 $y = ax^2 + \frac{5}{2}$ と (1) のグラフが相異なる2つの共有点をもつような $a$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) ガウス記号を含む関数のグラフを描く。$0 \le x < 3$ の範囲を整数区間に分割し、それぞれの区間で $y$ の式を求める。

* $0 \le x < 1$ のとき、$[x] = 0$ なので、$y = x \cdot 0 = 0$

* $1 \le x < 2$ のとき、$[x] = 1$ なので、$y = x \cdot 1 = x$

* $2 \le x < 3$ のとき、$[x] = 2$ なので、$y = x \cdot 2 = 2x$

これらの区間でグラフを描く。

(2) 曲線 $y = ax^2 + \frac{5}{2}$ と (1) のグラフが相異なる2つの共有点を持つ条件を求める。

まず、$y = ax^2 + \frac{5}{2}$ は下に凸な放物線で、$y$切片は $\frac{5}{2} = 2.5$ である。

$ax^2 + \frac{5}{2}$ と各区間における $y$ との交点を考える。

* $0 \le x < 1$ のとき、$y = 0$ との交点はない。$y = ax^2 + \frac{5}{2}$ は $x=0$ で $y=2.5$であるため。

* $1 \le x < 2$ のとき、$y = x$ との交点を考える。

$ax^2 + \frac{5}{2} = x$ より、 $ax^2 - x + \frac{5}{2} = 0$

この2次方程式が $1 \le x < 2$ の範囲に解を持つ条件を考える。

判別式 $D = (-1)^2 - 4a(\frac{5}{2}) = 1 - 10a > 0$ より、$a < \frac{1}{10}$

ここで、 $a > 0$ より、$0 < a < \frac{1}{10}$ が必要となる。

$f(x) = ax^2 - x + \frac{5}{2}$ とおくと、$f(1) = a - 1 + \frac{5}{2} = a + \frac{3}{2} > 0$

$f(2) = 4a - 2 + \frac{5}{2} = 4a + \frac{1}{2} > 0$

軸の位置は $x = \frac{1}{2a}$ であり、$1 \le \frac{1}{2a} < 2$ より、$\frac{1}{4} < a \le \frac{1}{2}$。

* $2 \le x < 3$ のとき、$y = 2x$ との交点を考える。

$ax^2 + \frac{5}{2} = 2x$ より、$ax^2 - 2x + \frac{5}{2} = 0$

この2次方程式が $2 \le x < 3$ の範囲に解を持つ条件を考える。

判別式 $D = (-2)^2 - 4a(\frac{5}{2}) = 4 - 10a > 0$ より、$a < \frac{2}{5}$

$g(x) = ax^2 - 2x + \frac{5}{2}$ とおくと、$g(2) = 4a - 4 + \frac{5}{2} = 4a - \frac{3}{2}$

$g(3) = 9a - 6 + \frac{5}{2} = 9a - \frac{7}{2}$

相異なる2つの共有点を持つには、$g(2)g(3) < 0$を満たせばよい。

$(4a - \frac{3}{2})(9a - \frac{7}{2}) < 0$ より、$\frac{3}{8} < a < \frac{7}{18}$

よって、

$\frac{3}{8} < a < \frac{7}{18}$

3. 最終的な答え

$\frac{3}{8} < a < \frac{7}{18}$