$a$ を正の分数とする。$a \times \frac{175}{12}$ と $a \div \frac{39}{70}$ がともに自然数となるような最小の $a$ を求める。

1. 問題の内容

$a$ を正の分数とする。$a \times \frac{175}{12}$ と $a \div \frac{39}{70}$ がともに自然数となるような最小の $a$ を求める。

2. 解き方の手順

$a \times \frac{175}{12}$ が自然数となるためには、$a = \frac{12k}{175}$ （$k$は自然数）の形でなければならない。

$a \div \frac{39}{70} = a \times \frac{70}{39}$ が自然数となるためには、$a = \frac{39l}{70}$ （$l$は自然数）の形でなければならない。

したがって、$a = \frac{12k}{175} = \frac{39l}{70}$ となる必要があり、これを変形すると

$\frac{12k}{175} = \frac{39l}{70}$

$12k \times 70 = 39l \times 175$

$840k = 6825l$

$168k = 1365l$

$56k = 455l$

$8k = 65l$

$k = \frac{65}{8}l$

$k$ が自然数であるためには、$l$ は 8 の倍数でなければならない。したがって、最小の $l$ は $l=8$ である。

このとき、$k=65$となる。

よって、$a = \frac{39l}{70} = \frac{39 \times 8}{70} = \frac{39 \times 4}{35} = \frac{156}{35}$

$a = \frac{12k}{175} = \frac{12 \times 65}{175} = \frac{12 \times 13}{35} = \frac{156}{35}$

3. 最終的な答え

$a = \frac{156}{35}$