3つの解 $3, 1+i, 1-i$ を持つ3次方程式を1つ求める問題です。与えられた3つの解を元に、3次方程式 $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$ の係数 $a, b, c, d$ を決定します。画像には、解を代入して得られた連立方程式と、その一部を簡略化する試みが示されています。

1. 問題の内容

3つの解 $3, 1+i, 1-i$ を持つ3次方程式を1つ求める問題です。与えられた3つの解を元に、3次方程式 $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$ の係数 $a, b, c, d$ を決定します。画像には、解を代入して得られた連立方程式と、その一部を簡略化する試みが示されています。

2. 解き方の手順

まず、与えられた解 $3, 1+i, 1-i$ を持つ3次方程式を作る基本的な方法を考えます。3つの解が与えられているので、因数定理を利用して方程式を作成できます。

3つの解を $\alpha, \beta, \gamma$ とすると、3次方程式は $a(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)=0$ と表せます。ここで、$a$ は0でない定数です。

この問題では、$\alpha = 3, \beta = 1+i, \gamma = 1-i$ なので、

$a(x-3)(x-(1+i))(x-(1-i)) = 0$

$a(x-3)(x-1-i)(x-1+i) = 0$

$a(x-3)((x-1)^2 - (i)^2) = 0$

$a(x-3)(x^2 - 2x + 1 + 1) = 0$

$a(x-3)(x^2 - 2x + 2) = 0$

$a(x^3 - 2x^2 + 2x - 3x^2 + 6x - 6) = 0$

$a(x^3 - 5x^2 + 8x - 6) = 0$

$a$ は0でない定数なので、$a=1$ とすると、3次方程式は

$x^3 - 5x^2 + 8x - 6 = 0$

画像中の計算は、この方法とは異なるアプローチを取っており、方程式に解を代入して連立方程式を解こうとしています。画像中の連立方程式を解くことも可能ですが、上記の解法の方が簡単です。

3. 最終的な答え

求める3次方程式の一つは $x^3 - 5x^2 + 8x - 6 = 0$ です。