与えられた分数の分母を有理化し、式を簡単にしてください。問題の式は $\frac{\sqrt{5} - \sqrt{2}}{\sqrt{5} + \sqrt{2}}$ です。

1. 問題の内容

与えられた分数の分母を有理化し、式を簡単にしてください。問題の式は $\frac{\sqrt{5} - \sqrt{2}}{\sqrt{5} + \sqrt{2}}$ です。

2. 解き方の手順

分母を有理化するために、分母の共役複素数 ($\sqrt{5} - \sqrt{2}$) を分子と分母の両方に掛けます。

$\frac{\sqrt{5} - \sqrt{2}}{\sqrt{5} + \sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{5} - \sqrt{2}}{\sqrt{5} - \sqrt{2}}$

分子を展開します。

$(\sqrt{5} - \sqrt{2})(\sqrt{5} - \sqrt{2}) = (\sqrt{5})^2 - 2\sqrt{5}\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 5 - 2\sqrt{10} + 2 = 7 - 2\sqrt{10}$

分母を展開します。

$(\sqrt{5} + \sqrt{2})(\sqrt{5} - \sqrt{2}) = (\sqrt{5})^2 - (\sqrt{2})^2 = 5 - 2 = 3$

したがって、

$\frac{\sqrt{5} - \sqrt{2}}{\sqrt{5} + \sqrt{2}} = \frac{7 - 2\sqrt{10}}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{7 - 2\sqrt{10}}{3}$