数列$\{a_n\}$が初項2, 公比 $\frac{1}{3}$ の等比数列であるとする。このとき、数列$\{a_n\}$の一般項を求める。また、数列$\{b_n\}$の階差数列が数列$\{a_n\}$であるとする。$b_2-b_1=a_1$, $b_3-b_2=a_2$である。さらに、数列$\{b_n\}$が等比数列であるとき、数列$\{b_n\}$の公比$r$と一般項$b_n$を求める。

1. 問題の内容

数列$\{a_n\}$が初項2, 公比 $\frac{1}{3}$ の等比数列であるとする。このとき、数列$\{a_n\}$の一般項を求める。また、数列$\{b_n\}$の階差数列が数列$\{a_n\}$であるとする。$b_2-b_1=a_1$, $b_3-b_2=a_2$である。さらに、数列$\{b_n\}$が等比数列であるとき、数列$\{b_n\}$の公比$r$と一般項$b_n$を求める。

2. 解き方の手順

まず数列$\{a_n\}$の一般項を求める。等比数列の一般項は $a_n = a_1 r^{n-1}$ であり、初項が2、公比が $\frac{1}{3}$ であるから、

$$a_n = 2 \left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}$$

よって、アは2、イは3である。

次に、$b_2-b_1 = a_1$ と $b_3-b_2 = a_2$ を計算する。

$a_1 = 2 \left(\frac{1}{3}\right)^{1-1} = 2 \left(\frac{1}{3}\right)^{0} = 2 \cdot 1 = 2$

$a_2 = 2 \left(\frac{1}{3}\right)^{2-1} = 2 \left(\frac{1}{3}\right)^{1} = \frac{2}{3}$

したがって、ウは2、エは$\frac{2}{3}$である。

数列$\{b_n\}$は等比数列であるから、$b_1, b_2, b_3$ は等比数列をなす。

$b_2 = b_1 r$, $b_3 = b_1 r^2$

$b_2 - b_1 = b_1 r - b_1 = b_1(r-1) = a_1 = 2$

$b_3 - b_2 = b_1 r^2 - b_1 r = b_1 r (r-1) = a_2 = \frac{2}{3}$

$\frac{b_1 r (r-1)}{b_1 (r-1)} = \frac{\frac{2}{3}}{2}$

$r = \frac{1}{3}$

したがって、オは1、カは3である。

$b_1(r-1) = 2$ より、$b_1\left(\frac{1}{3}-1\right) = 2$

$b_1\left(-\frac{2}{3}\right) = 2$

$b_1 = -3$

したがって、数列$\{b_n\}$の一般項は

$b_n = b_1 r^{n-1} = -3 \left(\frac{1}{3}\right)^{n-1} = -3 \cdot \frac{1}{3^{n-1}} = -\frac{3}{3^{n-1}} = -\frac{1}{3^{n-2}}$

よって、キクは-1、ケは3である。

3. 最終的な答え

ア: 2

イ: 3

ウ: 2

エ: $\frac{2}{3}$

オ: 1

カ: 3

キク: -1

ケ: 3