与えられた式 $(x-1)(x-3)(x-5)(x-7) - 9$ を因数分解します。

1. 問題の内容

与えられた式 $(x-1)(x-3)(x-5)(x-7) - 9$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

まず、$(x-1)(x-3)(x-5)(x-7)$ の部分を展開しやすいように順番を入れ替えます。

$(x-1)(x-7)(x-3)(x-5)-9$

$(x^2-8x+7)(x^2-8x+15)-9$

ここで、$y = x^2 - 8x$ と置換します。すると、式は次のようになります。

$(y+7)(y+15) - 9$

これを展開すると、

$y^2 + 22y + 105 - 9$

$y^2 + 22y + 96$

この式を因数分解します。

$(y+6)(y+16)$

ここで、$y$ を $x^2 - 8x$ に戻します。

$(x^2 - 8x + 6)(x^2 - 8x + 16)$

$(x^2 - 8x + 16)$ は $(x-4)^2$ と因数分解できます。したがって、式は次のようになります。

$(x^2 - 8x + 6)(x-4)^2$

3. 最終的な答え

$(x^2 - 8x + 6)(x-4)^2$