与えられた数列 $1^2 \cdot 2 + 2^2 \cdot 3 + 3^2 \cdot 4 + \dots$ の一般項とその和の公式を求める問題です。具体的には、第$n$項を求め、さらに$\sum_{k=1}^{n} k^2 (k+1)$を計算します。

1. 問題の内容

与えられた数列 $1^2 \cdot 2 + 2^2 \cdot 3 + 3^2 \cdot 4 + \dots$ の一般項とその和の公式を求める問題です。具体的には、第$n$項を求め、さらに$\sum_{k=1}^{n} k^2 (k+1)$を計算します。

2. 解き方の手順

まず、与えられた数列の第$n$項を求めます。これは $n^2(n+1)$ で表されます。次に、この数列の和を計算するために、$\sum_{k=1}^{n} k^2 (k+1)$ を計算します。

$\sum_{k=1}^{n} k^2 (k+1) = \sum_{k=1}^{n} (k^3 + k^2)$

ここで、$\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2$と$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$を使用します。したがって、

$\sum_{k=1}^{n} (k^3 + k^2) = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2 + \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$= \frac{n^2(n+1)^2}{4} + \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$= \frac{3n^2(n+1)^2 + 2n(n+1)(2n+1)}{12}$

$= \frac{n(n+1)[3n(n+1) + 2(2n+1)]}{12}$

$= \frac{n(n+1)[3n^2+3n+4n+2]}{12}$

$= \frac{n(n+1)(3n^2+7n+2)}{12}$

$= \frac{n(n+1)(n+2)(3n+1)}{12}$

3. 最終的な答え

$\sum_{k=1}^{n} k^2(k+1) = \frac{n(n+1)(n+2)(3n+1)}{12}$