以下の5つの問題があります。 1. $(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)$ を展開したときの $x^4$ の係数を求めよ。

はい、承知いたしました。与えられた数学の問題を解きます。

1. 問題の内容

以下の5つの問題があります。

1. $(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)$ を展開したときの $x^4$ の係数を求めよ。

2. $(a-b)^2 + (b-c)^2 + (a+c)^2 - (a-b+c)^2$ を展開せよ。

3. $(x^2 - 6x + 2)(x^2 - 6x - 1) - 54$ を因数分解せよ。

4. $x^4 - 3x^2 - 4$ を因数分解せよ。

5. $a(b^2 - c^2) + b(c^2 - a^2) + c(a^2 - b^2)$ を因数分解せよ。

2. 解き方の手順

1. $x^4$ の係数を求める問題

$(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)$ を展開したとき、$x^4$ の項は、5つの因子のうち1つだけが定数項で、残りが $x$ である項をすべて足し合わせたものになります。つまり、

$1 \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x + x \cdot 2 \cdot x \cdot x \cdot x + x \cdot x \cdot 3 \cdot x \cdot x + x \cdot x \cdot x \cdot 4 \cdot x + x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot 5$

$= (1+2+3+4+5)x^4 = 15x^4$

したがって、$x^4$ の係数は15です。

2. 展開の問題

$(a-b)^2 + (b-c)^2 + (a+c)^2 - (a-b+c)^2$ を展開します。

$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

$(b-c)^2 = b^2 - 2bc + c^2$

$(a+c)^2 = a^2 + 2ac + c^2$

$(a-b+c)^2 = ((a-b)+c)^2 = (a-b)^2 + 2(a-b)c + c^2 = a^2 - 2ab + b^2 + 2ac - 2bc + c^2$

したがって、

$a^2 - 2ab + b^2 + b^2 - 2bc + c^2 + a^2 + 2ac + c^2 - (a^2 - 2ab + b^2 + 2ac - 2bc + c^2) =$

$a^2 - 2ab + b^2 + b^2 - 2bc + c^2 + a^2 + 2ac + c^2 - a^2 + 2ab - b^2 - 2ac + 2bc - c^2 = a^2 + b^2 + c^2$

3. 因数分解の問題

$(x^2 - 6x + 2)(x^2 - 6x - 1) - 54$ を因数分解します。

$x^2 - 6x = A$ とおくと、

$(A+2)(A-1) - 54 = A^2 + A - 2 - 54 = A^2 + A - 56 = (A+8)(A-7)$

$A = x^2 - 6x$ を代入して、

$(x^2 - 6x + 8)(x^2 - 6x - 7) = (x-2)(x-4)(x-7)(x+1)$

4. 因数分解の問題

$x^4 - 3x^2 - 4$ を因数分解します。

$x^2 = A$ とおくと、

$A^2 - 3A - 4 = (A-4)(A+1)$

$x^2 = A$ を代入して、

$(x^2 - 4)(x^2 + 1) = (x-2)(x+2)(x^2 + 1)$

5. 因数分解の問題

$a(b^2 - c^2) + b(c^2 - a^2) + c(a^2 - b^2)$ を因数分解します。

$ab^2 - ac^2 + bc^2 - ba^2 + ca^2 - cb^2 =$

$ab^2 - ac^2 + bc^2 - ba^2 + ca^2 - cb^2 =$

$-ab^2 + ac^2 - bc^2 + ba^2 - ca^2 + cb^2 =$

$a^2(c-b) + a(b^2 - c^2) + bc^2 - b^2c =$

$a^2(c-b) + a(b-c)(b+c) + bc(c-b) =$

$(c-b)(a^2 - a(b+c) + bc) = (c-b)(a-b)(a-c) = -(a-b)(b-c)(c-a)$

3. 最終的な答え

1. 15

2. $a^2 + b^2 + c^2$

3. $(x-2)(x-4)(x-7)(x+1)$

4. $(x-2)(x+2)(x^2 + 1)$

5. $-(a-b)(b-c)(c-a)$