数列 $1, 1+2, 1+2+3, ..., 1+2+3+...+n, ...$ の初項から第$n$項までの和を求めよ。

1. 問題の内容

数列 $1, 1+2, 1+2+3, ..., 1+2+3+...+n, ...$ の初項から第$n$項までの和を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた数列の第$k$項を求めます。第$k$項は $1+2+3+...+k$ です。

これは初項1、末項k、項数kの等差数列の和なので、次の式で表すことができます。

$\frac{k(k+1)}{2}$

したがって、求める和 $S_n$ は、

$S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{k(k+1)}{2}$

となります。

$S_n = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} (k^2+k)$

$S_n = \frac{1}{2} (\sum_{k=1}^{n} k^2 + \sum_{k=1}^{n} k)$

ここで、$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ および $\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$ を用いると、

$S_n = \frac{1}{2} (\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2})$

$S_n = \frac{n(n+1)}{2} (\frac{2n+1}{6} + \frac{1}{2})$

$S_n = \frac{n(n+1)}{2} (\frac{2n+1+3}{6})$

$S_n = \frac{n(n+1)}{2} (\frac{2n+4}{6})$

$S_n = \frac{n(n+1)(2n+4)}{12}$

$S_n = \frac{n(n+1)2(n+2)}{12}$

$S_n = \frac{n(n+1)(n+2)}{6}$

3. 最終的な答え

$\frac{n(n+1)(n+2)}{6}$