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画像にある5つの問題について、展開または因数分解を求める。

代数学展開因数分解多項式係数
2025/4/24

1. 問題の内容

画像にある5つの問題について、展開または因数分解を求める。

2. 解き方の手順

問題1：(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5) を展開したときの xx の係数を求める。
(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)を展開すると、定数項は1*2*3*4*5=120となる。
xxの係数は、これらの定数項から1つずつ定数を選び、残りをxにしたときの和になる。つまり、
1*2*3*4*x + 1*2*3*x*5 + 1*2*x*4*5 + 1*x*3*4*5 + x*2*3*4*5
= 24x + 30x + 40x + 60x + 120x
= 274x
したがって、xxの係数は274となる。
問題2：(a−b)2+(b−c)2+(a+c)2−(a−b+c)2(a-b)^2 + (b-c)^2 + (a+c)^2 - (a-b+c)^2 を展開する。
(a−b)2+(b−c)2+(a+c)2−(a−b+c)2(a-b)^2 + (b-c)^2 + (a+c)^2 - (a-b+c)^2
=a2−2ab+b2+b2−2bc+c2+a2+2ac+c2−(a2+b2+c2−2ab−2bc+2ac)= a^2 - 2ab + b^2 + b^2 - 2bc + c^2 + a^2 + 2ac + c^2 - (a^2 + b^2 + c^2 - 2ab - 2bc + 2ac)
=a2−2ab+b2+b2−2bc+c2+a2+2ac+c2−a2−b2−c2+2ab+2bc−2ac= a^2 - 2ab + b^2 + b^2 - 2bc + c^2 + a^2 + 2ac + c^2 - a^2 - b^2 - c^2 + 2ab + 2bc - 2ac
=a2+b2+c2= a^2 + b^2 + c^2
問題3：(x2−6x+2)(x2−6x−1)−54(x^2 - 6x + 2)(x^2 - 6x - 1) - 54 を因数分解する。
x2−6x=Ax^2 - 6x = Aとおくと、
(A+2)(A−1)−54=A2+A−2−54=A2+A−56(A+2)(A-1) - 54 = A^2 + A - 2 - 54 = A^2 + A - 56
=(A+8)(A−7)= (A+8)(A-7)
ここで、A=x2−6xA = x^2 - 6xを代入する。
(x2−6x+8)(x2−6x−7)=(x−2)(x−4)(x+1)(x−7)(x^2 - 6x + 8)(x^2 - 6x - 7) = (x-2)(x-4)(x+1)(x-7)
問題4：x4−3x2−4x^4 - 3x^2 - 4 を因数分解する。
x2=Ax^2 = Aとおくと、
A2−3A−4=(A−4)(A+1)A^2 - 3A - 4 = (A-4)(A+1)
ここで、A=x2A = x^2を代入する。
(x2−4)(x2+1)=(x−2)(x+2)(x2+1)(x^2 - 4)(x^2 + 1) = (x-2)(x+2)(x^2 + 1)
問題5：a(b2−c2)+b(c2−a2)+c(a2−b2)a(b^2 - c^2) + b(c^2 - a^2) + c(a^2 - b^2) を因数分解する。
a(b2−c2)+b(c2−a2)+c(a2−b2)a(b^2 - c^2) + b(c^2 - a^2) + c(a^2 - b^2)
=ab2−ac2+bc2−ba2+ca2−cb2= ab^2 - ac^2 + bc^2 - ba^2 + ca^2 - cb^2
=ab2−ac2+bc2−ba2+ca2−cb2= ab^2 - ac^2 + bc^2 - ba^2 + ca^2 - cb^2
=ab2−a2b+ca2−ac2+bc2−cb2= ab^2 - a^2b + ca^2 - ac^2 + bc^2 - cb^2
=ab(b−a)+a(c2−c2)+c(c2−b2)= ab(b-a) + a(c^2 - c^2) + c(c^2 - b^2)
=−ab(a−b)+c2(b−a)−c(b2−a2)= -ab(a-b) + c^2(b-a) - c(b^2 - a^2)
=−ab(a−b)+c(c−(a+b))= -ab(a-b) + c(c - (a+b))
=−ab(a−b)−c2(a−b)−c(b−a)(b+a)= -ab(a-b) - c^2(a-b) - c(b-a)(b+a)
=−ab(a−b)+c2(b−a)−c(a+b)(a−b)= -ab(a-b) + c^2(b-a) - c(a+b)(a-b)
=(a−b)(−ab−c(a+b))= (a-b)(-ab - c(a+b))
=−(a−b)(ab+ac+bc)= -(a-b)(ab+ac+bc)
a(b2−c2)+b(c2−a2)+c(a2−b2)a(b^2 - c^2) + b(c^2 - a^2) + c(a^2 - b^2)
= ab2−ac2+bc2−ba2+ca2−cb2ab^2 - ac^2 + bc^2 - ba^2 + ca^2 - cb^2
= ab2−ba2+bc2−ac2+ca2−cb2ab^2 - ba^2 + bc^2 - ac^2 + ca^2 - cb^2
= ab(b−a)+c2(b−a)+c(a2−b2)ab(b-a) + c^2(b-a) + c(a^2 - b^2)
= ab(b−a)+c2(b−a)−c(b2−a2)ab(b-a) + c^2(b-a) - c(b^2-a^2)
= ab(b−a)+c2(b−a)−c(b+a)(b−a)ab(b-a) + c^2(b-a) - c(b+a)(b-a)
= (b−a)(ab+c2−c(a+b))(b-a)(ab + c^2 - c(a+b))
= (b−a)(ab+c2−ca−cb)(b-a)(ab + c^2 - ca - cb)
= (b−a)(ab−ca+c2−cb)(b-a)(ab - ca + c^2 - cb)
= (b−a)(a(b−c)−c(b−c))(b-a)(a(b-c) - c(b-c))
= (b−a)(a−c)(b−c)(b-a)(a-c)(b-c)
= -(a-b)(a-c)(b-c)
= (a-b)(c-a)(b-c)

3. 最終的な答え

問題1: 274
問題2: a2+b2+c2a^2 + b^2 + c^2
問題3: (x−2)(x−4)(x+1)(x−7)(x-2)(x-4)(x+1)(x-7)
問題4: (x−2)(x+2)(x2+1)(x-2)(x+2)(x^2+1)
問題5: (a−b)(c−a)(b−c)(a-b)(c-a)(b-c)

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