次の和 $S$ を求める問題です。 $S = 1 \cdot 1 + 3 \cdot 3 + 5 \cdot 3^2 + \dots + (2n-1) \cdot 3^{n-1}$

1. 問題の内容

次の和 $S$ を求める問題です。

$S = 1 \cdot 1 + 3 \cdot 3 + 5 \cdot 3^2 + \dots + (2n-1) \cdot 3^{n-1}$

2. 解き方の手順

この問題は、等差数列と等比数列の積の和を求める問題です。

まず、$S$ を以下のように書きます。

$S = 1 \cdot 1 + 3 \cdot 3 + 5 \cdot 3^2 + \dots + (2n-1) \cdot 3^{n-1}$

次に、$S$ に公比 3 をかけたものを計算します。

$3S = 1 \cdot 3 + 3 \cdot 3^2 + 5 \cdot 3^3 + \dots + (2n-3) \cdot 3^{n-1} + (2n-1) \cdot 3^n$

$S - 3S$ を計算すると以下のようになります。

$S - 3S = 1 + (3-1) \cdot 3 + (5-3) \cdot 3^2 + \dots + ((2n-1)-(2n-3)) \cdot 3^{n-1} - (2n-1) \cdot 3^n$

$-2S = 1 + 2 \cdot 3 + 2 \cdot 3^2 + \dots + 2 \cdot 3^{n-1} - (2n-1) \cdot 3^n$

$-2S = 1 + 2(3 + 3^2 + \dots + 3^{n-1}) - (2n-1) \cdot 3^n$

$3 + 3^2 + \dots + 3^{n-1}$ は初項 3, 公比 3, 項数 $n-1$ の等比数列の和なので、

$3 + 3^2 + \dots + 3^{n-1} = \frac{3(3^{n-1} - 1)}{3-1} = \frac{3(3^{n-1} - 1)}{2}$

したがって、

$-2S = 1 + 2 \cdot \frac{3(3^{n-1} - 1)}{2} - (2n-1) \cdot 3^n$

$-2S = 1 + 3(3^{n-1} - 1) - (2n-1) \cdot 3^n$

$-2S = 1 + 3^n - 3 - (2n-1) \cdot 3^n$

$-2S = 3^n - 2 - (2n-1) \cdot 3^n$

$-2S = 3^n - 2 - 2n \cdot 3^n + 3^n$

$-2S = 2 \cdot 3^n - 2 - 2n \cdot 3^n$

$-2S = (2-2n) \cdot 3^n - 2$

$S = (n-1) \cdot 3^n + 1$

3. 最終的な答え

$S = (n-1)3^n + 1$