与えられた式 $a(b^2-c^2)+b(c^2-a^2)+c(a^2-b^2)$ を因数分解せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $a(b^2-c^2)+b(c^2-a^2)+c(a^2-b^2)$ を因数分解せよ。

2. 解き方の手順

まず、式を展開します。

$a(b^2-c^2)+b(c^2-a^2)+c(a^2-b^2) = ab^2 - ac^2 + bc^2 - ba^2 + ca^2 - cb^2$

次に、式を整理するために、ある変数（例えば $a$）について降べきの順に並べ替えます。

$ab^2 - ac^2 + bc^2 - ba^2 + ca^2 - cb^2 = (c-b)a^2 + (b^2-c^2)a + bc^2 - cb^2$

$(c-b)a^2 + (b^2-c^2)a + bc^2 - cb^2 = (c-b)a^2 + (b-c)(b+c)a + bc(c-b)$

ここで、$c-b$ が共通因数なので、これを括りだします。

$(c-b)a^2 - (c-b)(b+c)a + bc(c-b) = (c-b)[a^2 - (b+c)a + bc]$

次に、$a^2 - (b+c)a + bc$ を因数分解します。

$a^2 - (b+c)a + bc = (a-b)(a-c)$

したがって、

$(c-b)[a^2 - (b+c)a + bc] = (c-b)(a-b)(a-c)$

$= -(b-c)(a-b)(a-c)$

$= (a-b)(b-c)(c-a)$

3. 最終的な答え

$(a-b)(b-c)(c-a)$