与えられた4つの式の分母を有理化する問題です。 (1) $\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$ (2) $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$ (3) $\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{6}+2}$ (4) $\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}$

1. 問題の内容

与えられた4つの式の分母を有理化する問題です。

(1) $\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$

(2) $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$

(3) $\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{6}+2}$

(4) $\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}$

2. 解き方の手順

分母の有理化は、分母に無理数が含まれている場合に、分母と分子に適切な値を掛けて、分母から無理数をなくす操作です。

(1) $\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$ の場合、分母の共役である $\sqrt{3}-\sqrt{2}$ を分母と分子に掛けます。

$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{3-2} = \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{1} = \sqrt{3}-\sqrt{2}$

(2) $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$ の場合、分母の共役である $\sqrt{5}+\sqrt{3}$ を分母と分子に掛けます。

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{5}+\sqrt{3})}{(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{\sqrt{10}+\sqrt{6}}{5-3} = \frac{\sqrt{10}+\sqrt{6}}{2}$

(3) $\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{6}+2}$ の場合、分母の共役である $\sqrt{6}-2$ を分母と分子に掛けます。

$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{6}+2} = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{6}+2} \cdot \frac{\sqrt{6}-2}{\sqrt{6}-2} = \frac{2\sqrt{3}(\sqrt{6}-2)}{(\sqrt{6})^2 - 2^2} = \frac{2\sqrt{18}-4\sqrt{3}}{6-4} = \frac{2\cdot 3\sqrt{2}-4\sqrt{3}}{2} = \frac{6\sqrt{2}-4\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{2}-2\sqrt{3}$

(4) $\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}$ の場合、分母の共役である $\sqrt{3}+1$ を分母と分子に掛けます。

$\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1} = \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1} \cdot \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}+1} = \frac{(\sqrt{3}+1)^2}{(\sqrt{3})^2 - 1^2} = \frac{3 + 2\sqrt{3} + 1}{3-1} = \frac{4+2\sqrt{3}}{2} = 2+\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

(1) $\sqrt{3}-\sqrt{2}$

(2) $\frac{\sqrt{10}+\sqrt{6}}{2}$

(3) $3\sqrt{2}-2\sqrt{3}$

(4) $2+\sqrt{3}$