放物線 $y = -x^2 + kx + k + 1$ が $x$ 軸と1点で接するとき、定数 $k$ の値と、そのときの接点の座標を求めます。

1. 問題の内容

放物線 $y = -x^2 + kx + k + 1$ が $x$ 軸と1点で接するとき、定数 $k$ の値と、そのときの接点の座標を求めます。

2. 解き方の手順

放物線が $x$ 軸と1点で接するということは、2次方程式 $-x^2 + kx + k + 1 = 0$ が重解を持つということです。

まず、2次方程式の形を整えます。

$x^2 - kx - k - 1 = 0$

この方程式の判別式を $D$ とすると、

$D = (-k)^2 - 4(1)(-k-1) = k^2 + 4k + 4$

重解を持つためには $D = 0$ である必要があります。

$k^2 + 4k + 4 = 0$

$(k+2)^2 = 0$

$k = -2$

したがって、 $k = -2$ のとき、与えられた放物線は $x$ 軸と接します。

このとき、放物線の式は $y = -x^2 -2x - 1$ となり、$x$ 軸との交点を求めるには $-x^2 -2x - 1 = 0$ を解けばよい。

$-(x+1)^2 = 0$

$x = -1$

したがって、接点の $x$ 座標は $-1$ です。

$y$ 座標は当然0なので、接点の座標は $(-1, 0)$ です。

3. 最終的な答え

$k = -2$

接点の座標は $(-1, 0)$