与えられた条件から二次関数 $f(x) = ax^2 + bx + c$ の係数 $a, b, c$ を求め、さらに条件を満たす $c$ の範囲を求める問題です。放物線は $x$ 軸と点 $(1, 0), (3, 0)$ で交わり、$y$ 軸と点 $(0, 1)$ で交わります。

1. 問題の内容

与えられた条件から二次関数 $f(x) = ax^2 + bx + c$ の係数 $a, b, c$ を求め、さらに条件を満たす $c$ の範囲を求める問題です。放物線は $x$ 軸と点 $(1, 0), (3, 0)$ で交わり、$y$ 軸と点 $(0, 1)$ で交わります。

2. 解き方の手順

(1) $f(x)$ が $(1, 0)$ と $(3, 0)$ を通るので、

$f(1) = a + b + c = 0$

$f(3) = 9a + 3b + c = 0$

また、$f(x)$ が $(0, 1)$ を通るので、

$f(0) = c = 1$

これらの式から $a$ と $b$ を求めます。

$a + b + 1 = 0$ より $b = -a - 1$

$9a + 3b + 1 = 0$ に代入すると、

$9a + 3(-a - 1) + 1 = 0$

$9a - 3a - 3 + 1 = 0$

$6a - 2 = 0$

$6a = 2$

$a = \frac{1}{3}$

$b = -a - 1 = -\frac{1}{3} - 1 = -\frac{4}{3}$

よって、$a = \frac{1}{3}$, $b = -\frac{4}{3}$, $c = 1$

(2) $c$ の値だけを変化させます。

判別式 $D = b^2 - 4ac$ を用いて、放物線 $y = f(x)$ が $x$ 軸と共有点を持たない条件を求めます。

$D = b^2 - 4ac = \left(-\frac{4}{3}\right)^2 - 4 \cdot \frac{1}{3} \cdot c = \frac{16}{9} - \frac{4}{3} c$

$x$ 軸と共有点を持たないのは $D < 0$ のときなので、

$\frac{16}{9} - \frac{4}{3} c < 0$

$\frac{16}{9} < \frac{4}{3} c$

$16 < 12c$

$c > \frac{16}{12} = \frac{4}{3}$

したがって、$c > \frac{4}{3}$ のとき、$y = f(x)$ は $x$ 軸と共有点を持ちません。

次に、$c = \frac{4}{3}$ のとき、放物線 $y = f(x)$ は $x$ 軸と点 $(x_0, 0)$ で接します。

この時の $x_0$ は $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-\frac{4}{3}}{2 \cdot \frac{1}{3}} = \frac{4/3}{2/3} = 2$

よって、放物線 $y = f(x)$ は $x$ 軸と点 $(2, 0)$ で接します。

(3) 放物線 $y = f(x)$ が $x$ 軸の $-1 < x < 0$ の部分、$y$ 軸の $-2 < y < -1$ の部分と共有点をもつような $c$ の値の範囲を求めます。

$f(-1) = \frac{1}{3} - \frac{4}{3}(-1) + c = \frac{1}{3} + \frac{4}{3} + c = \frac{5}{3} + c$

$f(0) = c$

$-2 < f(-1) < -1$

$-2 < \frac{5}{3} + c < -1$

$-2 - \frac{5}{3} < c < -1 - \frac{5}{3}$

$-\frac{11}{3} < c < -\frac{8}{3}$

$-2 < f(0) < -1$

$-2 < c < -1$

これらの条件を満たす $c$ の範囲は、 $-\frac{11}{3} < c < -\frac{8}{3}$ と $-2 < c < -1$ の共通範囲なので、

$-\frac{11}{3} < c < -1$

3. 最終的な答え

$a = \frac{1}{3}$

$b = -\frac{4}{3}$

$c = 1$

$c > \frac{4}{3}$ のとき、放物線 $y = f(x)$ は $x$ 軸と共有点を持たない。

$c = \frac{4}{3}$ のとき、放物線 $y = f(x)$ は $x$ 軸と点 $(2, 0)$ で接する。

$-\frac{11}{3} < c < -1$