与えられた放物線 $y=f(x) = ax^2 + bx + c$ が $x$ 軸と $(1, 0)$ と $(3, 0)$ で交わり、$y$ 軸と $(0, 1)$ で交わるという条件から、$a$, $b$, $c$ の値を求め、さらに $c$ の値を変化させたときに、放物線 $y = f(x)$ が $x$ 軸と共有点を持つ条件、または $x$ 軸と交わる点の座標を求め、最後に放物線 $y = f(x)$ が $x$軸の $-1 < x < 0$ の部分と $y$ 軸の $-2 < y < -1$ の部分の両方と共有点を持つような $c$ の値の範囲を求める問題。

1. 問題の内容

与えられた放物線 $y=f(x) = ax^2 + bx + c$ が $x$ 軸と $(1, 0)$ と $(3, 0)$ で交わり、$y$ 軸と $(0, 1)$ で交わるという条件から、$a$, $b$, $c$ の値を求め、さらに $c$ の値を変化させたときに、放物線 $y = f(x)$ が $x$ 軸と共有点を持つ条件、または $x$ 軸と交わる点の座標を求め、最後に放物線 $y = f(x)$ が $x$軸の $-1 < x < 0$ の部分と $y$ 軸の $-2 < y < -1$ の部分の両方と共有点を持つような $c$ の値の範囲を求める問題。

2. 解き方の手順

(1)

放物線が $(1, 0)$, $(3, 0)$ を通るので、$f(1) = a + b + c = 0$ と $f(3) = 9a + 3b + c = 0$ が成り立つ。

また、放物線が $(0, 1)$ を通るので、$f(0) = c = 1$ が成り立つ。

$a + b + 1 = 0$ と $9a + 3b + 1 = 0$ より、

$b = -a - 1$ を $9a + 3b + 1 = 0$ に代入すると、

$9a + 3(-a - 1) + 1 = 0$

$9a - 3a - 3 + 1 = 0$

$6a = 2$

$a = \frac{1}{3}$

$b = -\frac{1}{3} - 1 = -\frac{4}{3}$

したがって、$a = \frac{1}{3}, b = -\frac{4}{3}, c = 1$

(2)

$a = \frac{1}{3}, b = -\frac{4}{3}$ を固定して、$c$ の値を変化させる。

放物線 $y = f(x) = \frac{1}{3}x^2 - \frac{4}{3}x + c$ が $x$ 軸と共有点を持たないとき、判別式 $D < 0$ である。

$D = (\frac{-4}{3})^2 - 4 \cdot \frac{1}{3} \cdot c = \frac{16}{9} - \frac{4}{3}c < 0$

$\frac{4}{3}c > \frac{16}{9}$

$c > \frac{16}{9} \cdot \frac{3}{4} = \frac{4}{3}$

放物線 $y = f(x) = \frac{1}{3}x^2 - \frac{4}{3}x + c$ が $x$ 軸と点 $(k, 0)$ で接するとき、判別式 $D = 0$ である。

$D = \frac{16}{9} - \frac{4}{3}c = 0$

$c = \frac{4}{3}$

このとき、$f(x) = \frac{1}{3}x^2 - \frac{4}{3}x + \frac{4}{3} = \frac{1}{3}(x^2 - 4x + 4) = \frac{1}{3}(x - 2)^2$

したがって、$x = 2$ で接するので、$x$ 軸と点 $(2, 0)$ で交わる。

放物線 $y = f(x)$ が $x$ 軸の $-1 < x < 0$ の部分と $y$ 軸の $-2 < y < -1$ の部分の両方と共有点を持つとき、

$f(-1) > 0$ かつ $f(0) < 0$ または $f(-1) < 0$ かつ $f(0) > 0$。

$-2 < c < -1$ より $f(0) = c$ だから $-2 < c < -1$

$f(-1) = \frac{1}{3} + \frac{4}{3} + c = \frac{5}{3} + c$

$f(-1) > 0$ より $\frac{5}{3} + c > 0$ だから $c > -\frac{5}{3}$

したがって、$-\frac{5}{3} < c < -1$

3. 最終的な答え

$a = \frac{1}{3}$, $b = -\frac{4}{3}$, $c = 1$

$c > \frac{4}{3}$ のとき、放物線 $y = f(x)$ は $x$ 軸と共有点をもたない。

$c = \frac{4}{3}$ のとき、放物線 $y = f(x)$ は $x$ 軸と点 $(2, 0)$ で接する。

$-\frac{5}{3} < c < -1$