4次方程式 $\frac{1}{4}x^4 - \frac{2}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 + 2x + a = 0$ が異なる4つの実数解を持つような定数 $a$ の範囲を求める。

1. 問題の内容

4次方程式 $\frac{1}{4}x^4 - \frac{2}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 + 2x + a = 0$ が異なる4つの実数解を持つような定数 $a$ の範囲を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた4次方程式を変形する。

$\frac{1}{4}x^4 - \frac{2}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 + 2x + a = 0$

$-a = \frac{1}{4}x^4 - \frac{2}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 + 2x$

$f(x) = \frac{1}{4}x^4 - \frac{2}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 + 2x$ とおく。

このとき、$y = f(x)$ のグラフと $y = -a$ のグラフが異なる4つの交点を持つような $a$ の範囲を求めればよい。

$f'(x) = x^3 - 2x^2 - x + 2$

$f'(x) = x^2(x - 2) - (x - 2) = (x^2 - 1)(x - 2) = (x - 1)(x + 1)(x - 2)$

$f'(x) = 0$ となる $x$ は $x = -1, 1, 2$ である。

増減表を作成する。

x | ... | -1 | ... | 1 | ... | 2 | ...

------- | -------- | -------- | -------- | -------- | -------- | -------- | --------

f'(x) | - | 0 | + | 0 | - | 0 | +

------- | -------- | -------- | -------- | -------- | -------- | -------- | --------

f(x) | ↓ | f(-1) | ↑ | f(1) | ↓ | f(2) | ↑

$f(-1) = \frac{1}{4} + \frac{2}{3} - \frac{1}{2} - 2 = \frac{3 + 8 - 6 - 24}{12} = \frac{-19}{12}$

$f(1) = \frac{1}{4} - \frac{2}{3} - \frac{1}{2} + 2 = \frac{3 - 8 - 6 + 24}{12} = \frac{13}{12}$

$f(2) = \frac{1}{4}(16) - \frac{2}{3}(8) - \frac{1}{2}(4) + 2(2) = 4 - \frac{16}{3} - 2 + 4 = 6 - \frac{16}{3} = \frac{18 - 16}{3} = \frac{2}{3}$

グラフが異なる4つの交点を持つためには、

$f(-1) < -a < f(2)$ かつ $f(2) < -a < f(1)$ であればよい。

$\frac{-19}{12} < -a < \frac{2}{3}$ かつ $\frac{2}{3} < -a < \frac{13}{12}$

$-\frac{2}{3} < a < \frac{19}{12}$ かつ $-\frac{13}{12} < a < -\frac{2}{3}$

よって $-\frac{13}{12} < a < -\frac{2}{3}$.

3. 最終的な答え

$-\frac{13}{12} < a < -\frac{2}{3}$