数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和を$S_n$とする。 (1) $S_n = 3n^2 + 4n + 2$のとき、一般項$a_n$を求める。 (2) (1)のとき、$\sum_{k=1}^{n} a_k^2 = \boxed{ア}n^3 + \boxed{イ}n^2 + \boxed{ウ}n + \boxed{エ}$である。空欄を埋める。

1. 問題の内容

数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和を$S_n$とする。

(1) $S_n = 3n^2 + 4n + 2$のとき、一般項$a_n$を求める。

(2) (1)のとき、$\sum_{k=1}^{n} a_k^2 = \boxed{ア}n^3 + \boxed{イ}n^2 + \boxed{ウ}n + \boxed{エ}$である。空欄を埋める。

2. 解き方の手順

(1) 一般項$a_n$を求める。

$n \geq 2$のとき、$a_n = S_n - S_{n-1}$である。

$a_1 = S_1$

$S_n = 3n^2 + 4n + 2$なので、

$S_{n-1} = 3(n-1)^2 + 4(n-1) + 2 = 3(n^2 - 2n + 1) + 4n - 4 + 2 = 3n^2 - 6n + 3 + 4n - 2 = 3n^2 - 2n + 1$

よって、$a_n = (3n^2 + 4n + 2) - (3n^2 - 2n + 1) = 6n + 1$ ($n \geq 2$)

$a_1 = S_1 = 3(1)^2 + 4(1) + 2 = 3 + 4 + 2 = 9$

$6n+1$に$n=1$を代入すると、$6(1) + 1 = 7$となり、$a_1 = 9$と一致しない。

したがって、$a_1 = 9$, $a_n = 6n + 1$ ($n \geq 2$)

(2) $\sum_{k=1}^{n} a_k^2$を求める。

$\sum_{k=1}^{n} a_k^2 = a_1^2 + \sum_{k=2}^{n} a_k^2 = 9^2 + \sum_{k=2}^{n} (6k+1)^2 = 81 + \sum_{k=2}^{n} (36k^2 + 12k + 1) = 81 + \sum_{k=1}^{n} (36k^2 + 12k + 1) - (36(1)^2 + 12(1) + 1) = 81 + 36\sum_{k=1}^{n} k^2 + 12\sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} 1 - 36 - 12 - 1 = 81 + 36 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + 12 \cdot \frac{n(n+1)}{2} + n - 49 = 32 + 6n(n+1)(2n+1) + 6n(n+1) + n = 32 + 6n(2n^2 + 3n + 1) + 6n^2 + 6n + n = 32 + 12n^3 + 18n^2 + 6n + 6n^2 + 6n + n = 12n^3 + 24n^2 + 13n + 32$

$\sum_{k=1}^{n} a_k^2 = \sum_{k=1}^{n} (6k+1)^2$ if we assume $a_1 = 7$

$= \sum_{k=1}^{n} (36k^2 + 12k + 1) = 36\sum_{k=1}^{n} k^2 + 12\sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} 1 = 36 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + 12 \cdot \frac{n(n+1)}{2} + n = 6n(n+1)(2n+1) + 6n(n+1) + n = 6n(2n^2 + 3n + 1) + 6n^2 + 6n + n = 12n^3 + 18n^2 + 6n + 6n^2 + 6n + n = 12n^3 + 24n^2 + 13n$

3. 最終的な答え

ア: 12

イ: 24

ウ: 13

エ: 0