$S = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 3^2 + 4 \cdot 3^3 + \dots + n \cdot 3^{n-1}$ とするとき、$S$ を $S = \frac{(アn - イ) \cdot ウ^n + エ}{オ}$ の形で表す。空欄ア、イ、ウ、エ、オを埋める問題です。

1. 問題の内容

$S = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 3^2 + 4 \cdot 3^3 + \dots + n \cdot 3^{n-1}$ とするとき、$S$ を $S = \frac{(アn - イ) \cdot ウ^n + エ}{オ}$ の形で表す。空欄ア、イ、ウ、エ、オを埋める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$3S$ を計算します。

$3S = 1 \cdot 3 + 2 \cdot 3^2 + 3 \cdot 3^3 + \dots + (n-1) \cdot 3^{n-1} + n \cdot 3^n$

次に、$S - 3S$ を計算します。

$S - 3S = (1 \cdot 1 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 3^2 + 4 \cdot 3^3 + \dots + n \cdot 3^{n-1}) - (1 \cdot 3 + 2 \cdot 3^2 + 3 \cdot 3^3 + \dots + (n-1) \cdot 3^{n-1} + n \cdot 3^n)$

$-2S = 1 + 3 + 3^2 + 3^3 + \dots + 3^{n-1} - n \cdot 3^n$

等比数列の和の公式を使うと、$1 + 3 + 3^2 + 3^3 + \dots + 3^{n-1} = \frac{1(3^n - 1)}{3 - 1} = \frac{3^n - 1}{2}$

したがって、

$-2S = \frac{3^n - 1}{2} - n \cdot 3^n$

$-2S = \frac{3^n - 1 - 2n \cdot 3^n}{2}$

$-4S = 3^n - 1 - 2n \cdot 3^n$

$4S = -3^n + 1 + 2n \cdot 3^n$

$4S = (2n - 1) \cdot 3^n + 1$

$S = \frac{(2n - 1) \cdot 3^n + 1}{4}$

したがって、ア = 2, イ = 1, ウ = 3, エ = 1, オ = 4

3. 最終的な答え

ア = 2

イ = 1

ウ = 3

エ = 1

オ = 4