(1) 60にできるだけ小さな自然数をかけて、ある自然数の2乗にするには、どんな自然数をかければよいか求めなさい。 (2) 1から40までのすべての自然数の積は、末尾から続けて0が何個並んでいるか求めなさい。

1. 問題の内容

(1) 60にできるだけ小さな自然数をかけて、ある自然数の2乗にするには、どんな自然数をかければよいか求めなさい。

(2) 1から40までのすべての自然数の積は、末尾から続けて0が何個並んでいるか求めなさい。

2. 解き方の手順

(1)

60を素因数分解します。

$60 = 2 \times 2 \times 3 \times 5 = 2^2 \times 3 \times 5$

ある自然数の2乗にするためには、素因数分解したときの各素数の指数がすべて偶数である必要があります。

60の素因数分解の結果を見ると、2の指数は2で偶数ですが、3と5の指数は1で奇数です。

したがって、3と5の指数を偶数にするために、3と5をそれぞれ1つずつかける必要があります。

よって、かけるべき自然数は $3 \times 5 = 15$ です。

(2)

1から40までのすべての自然数の積の末尾に並ぶ0の個数を求めるには、1から40までの自然数の積の中に含まれる10の因子の数を数えればよいです。

10の因子は、2と5の積から作られます。1から40までの自然数の積には、2の因子よりも5の因子の方が少ないので、5の因子を数えることにします。

5の倍数の個数を数えます。

$40 \div 5 = 8$ より、5の倍数は8個あります。（5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40）

25の倍数の個数を数えます。

$40 \div 25 = 1.6$ より、25の倍数は1個あります。（25）

したがって、1から40までのすべての自然数の積に含まれる5の因子の数は $8 + 1 = 9$ 個です。

よって、末尾に並ぶ0の個数は9個です。

3. 最終的な答え

(1) 15

(2) 9個