次の循環小数で表される数の式を計算し、計算結果を分数で表してください。 (1) $0.\dot{1}2\dot{3} \times 3.6$ (2) $0.3\dot{1}\dot{2} - 0.1\dot{3}2\dot{4}$

はい、承知しました。問題文を読み解き、解答を作成します。

1. 問題の内容

次の循環小数で表される数の式を計算し、計算結果を分数で表してください。

(1) $0.\dot{1}2\dot{3} \times 3.6$

(2) $0.3\dot{1}\dot{2} - 0.1\dot{3}2\dot{4}$

2. 解き方の手順

(1) $0.\dot{1}2\dot{3} \times 3.6$ の計算

まず、$0.\dot{1}2\dot{3}$ を分数に変換します。

$x = 0.\dot{1}2\dot{3}$ とすると、 $1000x = 123.\dot{1}2\dot{3}$ となります。

したがって、$1000x - x = 123.\dot{1}2\dot{3} - 0.\dot{1}2\dot{3}$

$999x = 123$

$x = \frac{123}{999} = \frac{41}{333}$

次に、3.6 を分数に変換します。

$3.6 = \frac{36}{10} = \frac{18}{5}$

したがって、$0.\dot{1}2\dot{3} \times 3.6 = \frac{41}{333} \times \frac{18}{5} = \frac{41}{111} \times \frac{6}{5} = \frac{246}{555} = \frac{82}{185}$

(2) $0.3\dot{1}\dot{2} - 0.1\dot{3}2\dot{4}$ の計算

$x = 0.3\dot{1}\dot{2}$ とすると、$10x = 3.\dot{1}\dot{2}$。さらに、$1000(10x) = 312.\dot{1}\dot{2}$なので、$10000x - 10x = 312.\dot{1}\dot{2} - 3.\dot{1}\dot{2}$ となります。

したがって、$9990x = 309$

$x = \frac{309}{9990} = \frac{103}{3330}$

$y = 0.1\dot{3}2\dot{4}$ とすると、$10y = 1.\dot{3}2\dot{4}$。さらに、$1000(10y) = 1324.\dot{3}2\dot{4}$なので、$10000y - 10y = 1324.\dot{3}2\dot{4} - 1.\dot{3}2\dot{4}$ となります。

したがって、$9990y = 1323$

$y = \frac{1323}{9990} = \frac{49}{370}$

したがって、$0.3\dot{1}\dot{2} - 0.1\dot{3}2\dot{4} = \frac{103}{3330} - \frac{49}{370} = \frac{103}{3330} - \frac{441}{3330} = \frac{103 - 441}{3330} = \frac{-338}{3330} = -\frac{169}{1665}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{82}{185}$

(2) $-\frac{169}{1665}$