初項が20、公差が-3である等差数列 $\{a_n\}$ について、 (1) 第何項が初めて負の数になるか。 (2) 初項から第何項までの和が最大であるか。また、その和を求めよ。

## 問題の回答

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4. 等差数列

1. 問題の内容

初項が20、公差が-3である等差数列 $\{a_n\}$ について、

(1) 第何項が初めて負の数になるか。

(2) 初項から第何項までの和が最大であるか。また、その和を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 一般項 $a_n$ を求める。

等差数列の一般項は $a_n = a_1 + (n-1)d$ であるから、

$a_n = 20 + (n-1)(-3) = 20 - 3n + 3 = 23 - 3n$

$a_n < 0$ となる $n$ を求める。

$23 - 3n < 0$

$23 < 3n$

$n > \frac{23}{3} = 7.666\dots$

よって、$n = 8$

(2) 和 $S_n$ を求める。

等差数列の和は $S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$ であるから、

$S_n = \frac{n}{2}(20 + 23 - 3n) = \frac{n}{2}(43 - 3n)$

$S_n$ が最大となる $n$ を求める。$S_n$は$n$についての二次関数であり、上に凸な放物線なので、頂点に最も近い整数が求める$n$になる。

$S_n = \frac{1}{2}(-3n^2 + 43n) = -\frac{3}{2}(n^2 - \frac{43}{3}n) = -\frac{3}{2}((n - \frac{43}{6})^2 - (\frac{43}{6})^2)$

$S_n = -\frac{3}{2}(n - \frac{43}{6})^2 + \frac{3}{2}(\frac{43}{6})^2$

$n = \frac{43}{6} = 7.166\dots$ に最も近い整数は $n = 7$ または $n=8$ である。

$a_8 < 0$ であるから、$n=7$ と $n=8$ で和は等しく、$n=7$ までの和が最大である。

$S_7 = \frac{7}{2}(43 - 3\times 7) = \frac{7}{2}(43 - 21) = \frac{7}{2}(22) = 77$

3. 最終的な答え

(1) 第8項

(2) 第7項、和は77

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5. 等比数列

1. 問題の内容

第4項が24、第6項が96である等比数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ を求めよ。

2. 解き方の手順

等比数列の一般項を $a_n = a_1 r^{n-1}$ とする。

$a_4 = a_1 r^3 = 24$

$a_6 = a_1 r^5 = 96$

$\frac{a_6}{a_4} = \frac{a_1 r^5}{a_1 r^3} = \frac{96}{24}$

$r^2 = 4$

$r = \pm 2$

$r = 2$ のとき $a_1 2^3 = 24$ より $a_1 = \frac{24}{8} = 3$

$r = -2$ のとき $a_1 (-2)^3 = 24$ より $a_1 = \frac{24}{-8} = -3$

したがって、一般項は

$a_n = 3 \cdot 2^{n-1}$ または $a_n = -3 \cdot (-2)^{n-1}$

3. 最終的な答え

$a_n = 3 \cdot 2^{n-1}$ または $a_n = -3 \cdot (-2)^{n-1}$

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6. 等比数列の和

1. 問題の内容

初項から第3項までの和が3、第2項から第4項までの和が-6である等比数列の初項 $a$ と公比 $r$ を求めよ。

2. 解き方の手順

初項を $a$, 公比を $r$ とすると、

$a + ar + ar^2 = 3$

$ar + ar^2 + ar^3 = -6$

$r(a + ar + ar^2) = ar + ar^2 + ar^3$ であるから、

$3r = -6$

$r = -2$

$a + a(-2) + a(-2)^2 = 3$

$a - 2a + 4a = 3$

$3a = 3$

$a = 1$

3. 最終的な答え

初項 $a = 1$, 公比 $r = -2$

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7. 一般項の決定

1. 問題の内容

数列 1, 4, 9, 16, 25,... の一般項 $a_n$ を求めよ。

2. 解き方の手順

数列は $1^2, 2^2, 3^2, 4^2, 5^2, \dots$ であるから、一般項は $a_n = n^2$

3. 最終的な答え

$a_n = n^2$

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8. 一般項の決定(Snから)

1. 問題の内容

初項から第n項までの和 $S_n$ が $S_n = n^2 + 2n$ で表される数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ を求めよ。

2. 解き方の手順

$a_n = S_n - S_{n-1}$ を用いる。

$a_1 = S_1 = 1^2 + 2(1) = 1 + 2 = 3$

$n \ge 2$ のとき、

$a_n = S_n - S_{n-1} = (n^2 + 2n) - ((n-1)^2 + 2(n-1)) = n^2 + 2n - (n^2 - 2n + 1 + 2n - 2) = n^2 + 2n - (n^2 - 1) = 2n + 1$

$n = 1$ のときも $a_1 = 2(1) + 1 = 3$ となるから、

$a_n = 2n + 1$

3. 最終的な答え

$a_n = 2n + 1$

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9. 分数の和の計算

1. 問題の内容

$S = \frac{1}{1\cdot2} + \frac{1}{2\cdot3} + \frac{1}{3\cdot4} + \dots + \frac{1}{n(n+1)}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

部分分数分解を用いる。

$\frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}$

$S = (\frac{1}{1} - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) + \dots + (\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1})$

$S = 1 - \frac{1}{n+1} = \frac{n+1-1}{n+1} = \frac{n}{n+1}$

3. 最終的な答え

$S = \frac{n}{n+1}$