媒介変数 $t$ を用いて表された以下の式が、$xy$平面上でどのような曲線を表すかを図示する問題です。 $x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$, $y = \frac{4t}{1+t^2}$ また、$t = \tan \theta$ とおき、$ \tan \theta$ の性質を利用して考えることが指示されています。

1. 問題の内容

媒介変数 $t$ を用いて表された以下の式が、$xy$平面上でどのような曲線を表すかを図示する問題です。

$x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$, $y = \frac{4t}{1+t^2}$

また、$t = \tan \theta$ とおき、$\tan \theta$ の性質を利用して考えることが指示されています。

2. 解き方の手順

まず、$t = \tan \theta$ と置換します。このとき、

$x = \frac{1 - \tan^2 \theta}{1 + \tan^2 \theta}$

$y = \frac{4 \tan \theta}{1 + \tan^2 \theta}$

となります。

三角関数の公式を利用して、$x$と$y$の式を簡略化します。

$x$について、

$x = \frac{1 - \tan^2 \theta}{1 + \tan^2 \theta} = \frac{1 - \frac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta}}{1 + \frac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta}} = \frac{\cos^2 \theta - \sin^2 \theta}{\cos^2 \theta + \sin^2 \theta} = \cos 2\theta$

したがって、

$x = \cos 2\theta$

$y$について、

$y = \frac{4 \tan \theta}{1 + \tan^2 \theta} = \frac{4 \frac{\sin \theta}{\cos \theta}}{1 + \frac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta}} = \frac{4 \sin \theta \cos \theta}{\cos^2 \theta + \sin^2 \theta} = 4 \sin \theta \cos \theta = 2(2 \sin \theta \cos \theta) = 2 \sin 2\theta$

したがって、

$y = 2 \sin 2\theta$

$x = \cos 2\theta$ と $y = 2 \sin 2\theta$ であるから、

$x^2 + (\frac{y}{2})^2 = \cos^2 2\theta + \sin^2 2\theta = 1$

整理すると、

$x^2 + \frac{y^2}{4} = 1$

これは楕円の方程式です。

$2\theta$は任意の値を取れるので、$x$は-1から1の値を取り、$y$は-2から2の値を取ります。

したがって、$x^2 + \frac{y^2}{4} = 1$ は楕円全体を表します。

3. 最終的な答え

この媒介変数表示は、$x^2 + \frac{y^2}{4} = 1$ で表される楕円を表します。