四面体OABCにおいて、$\overrightarrow{OP} = \frac{\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OC}}{3}$で定まる点Pがある。このとき、直線CPと平面OABとの交点をQとする。$\overrightarrow{OQ}$を$\overrightarrow{OA}$と$\overrightarrow{OB}$を用いて表せ。

1. 問題の内容

四面体OABCにおいて、$\overrightarrow{OP} = \frac{\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OC}}{3}$で定まる点Pがある。このとき、直線CPと平面OABとの交点をQとする。$\overrightarrow{OQ}$を$\overrightarrow{OA}$と$\overrightarrow{OB}$を用いて表せ。

2. 解き方の手順

まず、点Qは平面OAB上にあるので、実数s, tを用いて、

$\overrightarrow{OQ} = s\overrightarrow{OA} + t\overrightarrow{OB}$

と表せる。

次に、点Qは直線CP上にあるので、実数kを用いて、

$\overrightarrow{OQ} = (1-k)\overrightarrow{OC} + k\overrightarrow{OP}$

と表せる。

$\overrightarrow{OP}$の定義式を代入すると、

$\overrightarrow{OQ} = (1-k)\overrightarrow{OC} + k \frac{\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OC}}{3}$

$\overrightarrow{OQ} = \frac{k}{3}\overrightarrow{OA} + \frac{k}{3}\overrightarrow{OB} + (1-k - \frac{k}{3})\overrightarrow{OC}$

$\overrightarrow{OQ} = \frac{k}{3}\overrightarrow{OA} + \frac{k}{3}\overrightarrow{OB} + (1-\frac{4}{3}k)\overrightarrow{OC}$

$\overrightarrow{OQ} = s\overrightarrow{OA} + t\overrightarrow{OB}$と係数を比較すると、

$s = \frac{k}{3}$

$t = \frac{k}{3}$

$1-\frac{4}{3}k = 0$

$k = \frac{3}{4}$

よって、$s = \frac{1}{4}$, $t = \frac{1}{4}$となるので、

$\overrightarrow{OQ} = \frac{1}{4}\overrightarrow{OA} + \frac{1}{4}\overrightarrow{OB}$

3. 最終的な答え

$\overrightarrow{OQ} = \frac{1}{4}\overrightarrow{OA} + \frac{1}{4}\overrightarrow{OB}$