空間ベクトル $\vec{a}=(2, 1, -2)$、$\vec{b}=(3, -2, 6)$ に対して、$\vec{c} = t\vec{a} + \vec{b}$ ($t \in \mathbb{R}$) とする。 (1) $|\vec{c}|$ の最小値を求める。 (2) $\vec{c}$ が $\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角を二等分するときの $t$ の値を求める。

1. 問題の内容

空間ベクトル $\vec{a}=(2, 1, -2)$、$\vec{b}=(3, -2, 6)$ に対して、$\vec{c} = t\vec{a} + \vec{b}$ ($t \in \mathbb{R}$) とする。

(1) $|\vec{c}|$ の最小値を求める。

(2) $\vec{c}$ が $\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角を二等分するときの $t$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $|\vec{c}|$ を $t$ の関数として表し、最小値を求める。

$\vec{c} = t(2, 1, -2) + (3, -2, 6) = (2t+3, t-2, -2t+6)$

$|\vec{c}|^2 = (2t+3)^2 + (t-2)^2 + (-2t+6)^2 = 4t^2 + 12t + 9 + t^2 - 4t + 4 + 4t^2 - 24t + 36 = 9t^2 - 16t + 49$

$|\vec{c}|^2 = 9(t^2 - \frac{16}{9}t) + 49 = 9(t - \frac{8}{9})^2 - 9(\frac{8}{9})^2 + 49 = 9(t - \frac{8}{9})^2 - \frac{64}{9} + 49 = 9(t - \frac{8}{9})^2 + \frac{441-64}{9} = 9(t - \frac{8}{9})^2 + \frac{377}{9}$

$|\vec{c}|^2$ は $t = \frac{8}{9}$ のとき最小値 $\frac{377}{9}$ をとる。

したがって、 $|\vec{c}|$ の最小値は $\sqrt{\frac{377}{9}} = \frac{\sqrt{377}}{3}$。

(2) $\vec{c}$ が $\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角を二等分するとき、$\vec{c}$ は $\vec{a}$ と $\vec{b}$ を正規化したベクトルの和の定数倍で表せる。

$|\vec{a}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3$

$|\vec{b}| = \sqrt{3^2 + (-2)^2 + 6^2} = \sqrt{9 + 4 + 36} = \sqrt{49} = 7$

$\vec{c} = k(\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|} + \frac{\vec{b}}{|\vec{b}|}) = k(\frac{1}{3}(2, 1, -2) + \frac{1}{7}(3, -2, 6)) = k(\frac{2}{3} + \frac{3}{7}, \frac{1}{3} - \frac{2}{7}, -\frac{2}{3} + \frac{6}{7}) = k(\frac{14+9}{21}, \frac{7-6}{21}, \frac{-14+18}{21}) = k(\frac{23}{21}, \frac{1}{21}, \frac{4}{21})$

$\vec{c} = (2t+3, t-2, -2t+6) = k(\frac{23}{21}, \frac{1}{21}, \frac{4}{21})$

$2t+3 = \frac{23k}{21}$, $t-2 = \frac{k}{21}$, $-2t+6 = \frac{4k}{21}$

$k = 21(t-2)$ を他の式に代入する。

$2t+3 = \frac{23(21(t-2))}{21} = 23(t-2) = 23t - 46$

$21t = 49$, $t = \frac{49}{21} = \frac{7}{3}$

$-2t+6 = \frac{4(21(t-2))}{21} = 4(t-2) = 4t - 8$

$6t = 14$, $t = \frac{14}{6} = \frac{7}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $|\vec{c}|$ の最小値は $\frac{\sqrt{377}}{3}$。

(2) $\vec{c}$ が $\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角を二等分するとき、$t = \frac{7}{3}$。