3点A(1, 4), B(-1, 1), Cを頂点とする三角形ABCは、∠C = 90°の直角二等辺三角形である。点Cの座標を求めよ。

1. 問題の内容

3点A(1, 4), B(-1, 1), Cを頂点とする三角形ABCは、∠C = 90°の直角二等辺三角形である。点Cの座標を求めよ。

2. 解き方の手順

Cの座標を(x, y)とする。

直角二等辺三角形なので、CA = CB かつ CA ⊥ CBである。

まず、CA = CBより、$CA^2 = CB^2$だから、

$(x - 1)^2 + (y - 4)^2 = (x + 1)^2 + (y - 1)^2$

$x^2 - 2x + 1 + y^2 - 8y + 16 = x^2 + 2x + 1 + y^2 - 2y + 1$

$-2x - 8y + 17 = 2x - 2y + 2$

$4x + 6y = 15$

$4x + 6y - 15 = 0$ ...(1)

次に、CA ⊥ CBより、$\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB} = 0$だから、

$(1 - x, 4 - y) \cdot (-1 - x, 1 - y) = 0$

$(1 - x)(-1 - x) + (4 - y)(1 - y) = 0$

$-1 - x + x + x^2 + 4 - 4y - y + y^2 = 0$

$x^2 + y^2 - 5y + 3 = 0$ ...(2)

(1)より、$4x = 15 - 6y$

$x = \frac{15 - 6y}{4}$ ...(3)

(3)を(2)に代入する。

$(\frac{15 - 6y}{4})^2 + y^2 - 5y + 3 = 0$

$\frac{225 - 180y + 36y^2}{16} + y^2 - 5y + 3 = 0$

$225 - 180y + 36y^2 + 16y^2 - 80y + 48 = 0$

$52y^2 - 260y + 273 = 0$

$4y^2 - 20y + 21 = 0$

$(2y - 3)(2y - 7) = 0$

$y = \frac{3}{2}, \frac{7}{2}$

$y = \frac{3}{2}$のとき、$x = \frac{15 - 6(\frac{3}{2})}{4} = \frac{15 - 9}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$

$y = \frac{7}{2}$のとき、$x = \frac{15 - 6(\frac{7}{2})}{4} = \frac{15 - 21}{4} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2}$

したがって、Cの座標は$(\frac{3}{2}, \frac{3}{2}), (-\frac{3}{2}, \frac{7}{2})$

3. 最終的な答え

$(\frac{3}{2}, \frac{3}{2}), (-\frac{3}{2}, \frac{7}{2})$