(1) $0^\circ < \theta < 180^\circ$ において、$\cos\theta = -\frac{3}{5}$ のとき、$\tan\theta$ を求める。 (2) $0^\circ < \theta < 180^\circ$ において、$\tan\theta = -4$ のとき、$\cos\theta$ を求める。 (3) $\triangle ABC$ において、$\angle B = 30^\circ$, $\angle C = 45^\circ$, $CA = \sqrt{2}$ のとき、$AB$ を求める。 (4) $\triangle ABC$ において、$\angle A = 120^\circ$, $AB = \sqrt{2}$, $BC = \sqrt{6}$ のとき、$\angle C$ を求める。 (5) $\triangle ABC$ において、$AB = 6$, $BC = 7$, $CA = 5$ のとき、$\cos A$ と $\triangle ABC$ の面積を求める。

はい、承知いたしました。問題文にある問題３の(1)~(5)を解きます。

1. 問題の内容

(1) $0^\circ < \theta < 180^\circ$ において、$\cos\theta = -\frac{3}{5}$ のとき、$\tan\theta$ を求める。

(2) $0^\circ < \theta < 180^\circ$ において、$\tan\theta = -4$ のとき、$\cos\theta$ を求める。

(3) $\triangle ABC$ において、$\angle B = 30^\circ$, $\angle C = 45^\circ$, $CA = \sqrt{2}$ のとき、$AB$ を求める。

(4) $\triangle ABC$ において、$\angle A = 120^\circ$, $AB = \sqrt{2}$, $BC = \sqrt{6}$ のとき、$\angle C$ を求める。

(5) $\triangle ABC$ において、$AB = 6$, $BC = 7$, $CA = 5$ のとき、$\cos A$ と $\triangle ABC$ の面積を求める。

2. 解き方の手順

(1) $\cos\theta = -\frac{3}{5}$ なので、$0^\circ < \theta < 180^\circ$ より $\sin\theta > 0$ である。$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ より、

$\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta = 1 - \left(-\frac{3}{5}\right)^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$

$\sin\theta = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$

$\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{4/5}{-3/5} = -\frac{4}{3}$

(2) $\tan\theta = -4$ なので、$0^\circ < \theta < 180^\circ$ より $\sin\theta > 0, \cos\theta < 0$ である。

$\frac{\sin\theta}{\cos\theta} = -4$ より、$\sin\theta = -4\cos\theta$

$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ に代入すると、

$(-4\cos\theta)^2 + \cos^2\theta = 1$

$16\cos^2\theta + \cos^2\theta = 1$

$17\cos^2\theta = 1$

$\cos^2\theta = \frac{1}{17}$

$\cos\theta = \pm\sqrt{\frac{1}{17}} = \pm\frac{1}{\sqrt{17}}$

$\cos\theta < 0$ より、$\cos\theta = -\frac{1}{\sqrt{17}} = -\frac{\sqrt{17}}{17}$

(3) 正弦定理より、$\frac{AB}{\sin C} = \frac{CA}{\sin B}$ なので、

$AB = \frac{CA \sin C}{\sin B} = \frac{\sqrt{2} \sin 45^\circ}{\sin 30^\circ} = \frac{\sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}}{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2$

(4) 余弦定理より、

$BC^2 = AB^2 + CA^2 - 2 AB \cdot CA \cos A$

$6 = 2 + CA^2 - 2\sqrt{2} \cdot CA \cdot \cos 120^\circ$

$4 = CA^2 - 2\sqrt{2} \cdot CA \cdot (-\frac{1}{2})$

$4 = CA^2 + \sqrt{2} CA$

$CA^2 + \sqrt{2} CA - 4 = 0$

$CA = \frac{-\sqrt{2} \pm \sqrt{2 - 4(1)(-4)}}{2} = \frac{-\sqrt{2} \pm \sqrt{18}}{2} = \frac{-\sqrt{2} \pm 3\sqrt{2}}{2}$

$CA > 0$ より、$CA = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$

正弦定理より、$\frac{\sin C}{AB} = \frac{\sin A}{BC}$ なので、

$\sin C = \frac{AB \sin A}{BC} = \frac{\sqrt{2} \sin 120^\circ}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{2\sqrt{6}} = \frac{1}{2}$

$0^\circ < C < 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$ より、$C = 30^\circ$

(5) 余弦定理より、$\cos A = \frac{AB^2 + CA^2 - BC^2}{2AB \cdot CA} = \frac{6^2 + 5^2 - 7^2}{2 \cdot 6 \cdot 5} = \frac{36 + 25 - 49}{60} = \frac{12}{60} = \frac{1}{5}$

面積 $S = \frac{1}{2} AB \cdot CA \sin A$

$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$ より、$\sin^2 A = 1 - \cos^2 A = 1 - \left(\frac{1}{5}\right)^2 = 1 - \frac{1}{25} = \frac{24}{25}$

$\sin A = \sqrt{\frac{24}{25}} = \frac{2\sqrt{6}}{5}$

$S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 5 \cdot \frac{2\sqrt{6}}{5} = 6\sqrt{6}$

3. 最終的な答え

(1) $\tan\theta = -\frac{4}{3}$

(2) $\cos\theta = -\frac{\sqrt{17}}{17}$

(3) $AB = 2$

(4) $\angle C = 30^\circ$

(5) $\cos A = \frac{1}{5}$、$\triangle ABC$ の面積は $6\sqrt{6}$