問題4: 三角形ABCにおいて、3辺の長さが与えられたとき、角Cが鋭角、直角、鈍角のいずれであるかを調べる問題です。 (1) $a=9, b=10, c=12$ (2) $a=5, b=12, c=13$ 問題5: 三角形ABCにおいて、$\sin A : \sin B : \sin C = \sqrt{2} : \sqrt{5} : 1$ が成り立つとき、この三角形の最も大きい角度を求める問題です。

1. 問題の内容

問題4: 三角形ABCにおいて、3辺の長さが与えられたとき、角Cが鋭角、直角、鈍角のいずれであるかを調べる問題です。

(1) $a=9, b=10, c=12$

(2) $a=5, b=12, c=13$

問題5: 三角形ABCにおいて、$\sin A : \sin B : \sin C = \sqrt{2} : \sqrt{5} : 1$ が成り立つとき、この三角形の最も大きい角度を求める問題です。

2. 解き方の手順

問題4:

角Cの種類の判定には、余弦定理を利用します。余弦定理は以下の通りです。

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$

この式を変形すると、

$\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$

$\cos C$ の符号によって、角Cの種類を判別できます。

* $\cos C > 0$ ならば、角Cは鋭角です。

* $\cos C = 0$ ならば、角Cは直角です。

* $\cos C < 0$ ならば、角Cは鈍角です。

(1) $a=9, b=10, c=12$ の場合:

$\cos C = \frac{9^2 + 10^2 - 12^2}{2 \cdot 9 \cdot 10} = \frac{81 + 100 - 144}{180} = \frac{37}{180} > 0$

したがって、角Cは鋭角です。

(2) $a=5, b=12, c=13$ の場合:

$\cos C = \frac{5^2 + 12^2 - 13^2}{2 \cdot 5 \cdot 12} = \frac{25 + 144 - 169}{120} = \frac{0}{120} = 0$

したがって、角Cは直角です。

問題5:

正弦定理より、$a:b:c = \sin A : \sin B : \sin C$ が成り立ちます。

したがって、$a:b:c = \sqrt{2} : \sqrt{5} : 1$ です。

ある定数 $k > 0$ を用いて、$a = \sqrt{2}k, b = \sqrt{5}k, c = k$ と表すことができます。

最も大きい角は、最も長い辺の対角です。この場合、$b = \sqrt{5}k$ が最も長いので、角Bが最も大きいです。

余弦定理を用いて角Bを求めます。

$\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = \frac{(\sqrt{2}k)^2 + k^2 - (\sqrt{5}k)^2}{2 \cdot \sqrt{2}k \cdot k} = \frac{2k^2 + k^2 - 5k^2}{2\sqrt{2}k^2} = \frac{-2k^2}{2\sqrt{2}k^2} = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos B = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ となる角Bは $135^\circ$ です。

3. 最終的な答え

問題4:

(1) 鋭角

(2) 直角

問題5:

$135^\circ$