2つの島A, Bから船Cの位置を測定した。AB = 30km、∠CAB = 45°、∠ABC = 60°であるとき、ACの長さを選択肢の中から選ぶ問題。

## (5)の問題

1. **問題の内容**

2つの島A, Bから船Cの位置を測定した。AB = 30km、∠CAB = 45°、∠ABC = 60°であるとき、ACの長さを選択肢の中から選ぶ問題。

2. **解き方の手順**

まず、三角形ABCの内角の和は180°なので、∠ACBを求める。

$∠ACB = 180° - ∠CAB - ∠ABC = 180° - 45° - 60° = 75°$

次に、正弦定理を用いてACの長さを求める。正弦定理より、

$\frac{AC}{\sin∠ABC} = \frac{AB}{\sin∠ACB}$

この式に、既知の値を代入する。

$\frac{AC}{\sin60°} = \frac{30}{\sin75°}$

したがって、ACは、

$AC = \frac{30 \sin60°}{\sin75°}$

$\sin60° = \frac{\sqrt{3}}{2}$なので、

$AC = \frac{30 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\sin75°} = \frac{15\sqrt{3}}{\sin75°}$

3. **最終的な答え**

AC = $\frac{15\sqrt{3}}{\sin75°}$ なので、選択肢の②が正解。

## (6)の問題

1. **問題の内容**

三角形ABCにおいて、AB = 2, BC = $\sqrt{7}$, ∠A = 60°のとき、CAの長さを求める問題。

2. **解き方の手順**

余弦定理を用いてCAの長さを求める。CA = xとすると、

$BC^2 = AB^2 + CA^2 - 2 \cdot AB \cdot CA \cdot \cos A$

この式に、既知の値を代入する。

$(\sqrt{7})^2 = 2^2 + x^2 - 2 \cdot 2 \cdot x \cdot \cos60°$

$7 = 4 + x^2 - 4x \cdot \frac{1}{2}$

$7 = 4 + x^2 - 2x$

$x^2 - 2x - 3 = 0$

因数分解すると、

$(x - 3)(x + 1) = 0$

したがって、x = 3 または x = -1

CAの長さは正であるから、x = 3

3. **最終的な答え**

CA = 3