点A(3, 1)と直線 $3x + 2y - 6 = 0$ に関して対称な点Bの座標を求める。

1. 問題の内容

点A(3, 1)と直線 $3x + 2y - 6 = 0$ に関して対称な点Bの座標を求める。

2. 解き方の手順

まず、点Bの座標を(x, y)とします。

次に、点Aと点Bの中点Mを求めます。Mは線分ABの中点なので、その座標は (($3+x$)/2, ($1+y$)/2)となります。

点Mは直線 $3x + 2y - 6 = 0$ 上にあるため、Mの座標を直線の方程式に代入します。

$3 \times \frac{3+x}{2} + 2 \times \frac{1+y}{2} - 6 = 0$

これを整理すると、

$3(3+x) + 2(1+y) - 12 = 0$

$9 + 3x + 2 + 2y - 12 = 0$

$3x + 2y - 1 = 0$ ...(1)

次に、直線ABは直線 $3x + 2y - 6 = 0$ と直交するので、それぞれの傾きの積は-1となります。

直線 $3x + 2y - 6 = 0$ の傾きは $-3/2$ です。

直線ABの傾きは $(y-1)/(x-3)$ です。

したがって、

$\frac{y-1}{x-3} \times (-\frac{3}{2}) = -1$

これを整理すると、

$\frac{y-1}{x-3} = \frac{2}{3}$

$3(y-1) = 2(x-3)$

$3y - 3 = 2x - 6$

$2x - 3y - 3 = 0$ ...(2)

(1)と(2)の連立方程式を解きます。

(1)より、 $3x + 2y = 1$ ...(1')

(2)より、 $2x - 3y = 3$ ...(2')

(1') $\times 2$ - (2') $\times 3$ を計算すると、

$6x + 4y - (6x - 9y) = 2 - 9$

$13y = -7$

$y = -\frac{7}{13}$

これを(1')に代入すると、

$3x + 2 \times (-\frac{7}{13}) = 1$

$3x - \frac{14}{13} = 1$

$3x = 1 + \frac{14}{13} = \frac{27}{13}$

$x = \frac{9}{13}$

3. 最終的な答え

点Bの座標は $(\frac{9}{13}, -\frac{7}{13})$