点A(-1, 5), B(2, -1) が与えられている。実数 $a, b$ について、直線 $y = (b-a)x - (3b+a)$ が線分ABと共有点を持つとき、点P($a, b$) の存在する領域を図示する。

1. 問題の内容

点A(-1, 5), B(2, -1) が与えられている。実数 $a, b$ について、直線 $y = (b-a)x - (3b+a)$ が線分ABと共有点を持つとき、点P($a, b$) の存在する領域を図示する。

2. 解き方の手順

まず、直線 $y = (b-a)x - (3b+a)$ を $a, b$ について整理する。

$y = bx - ax - 3b - a$

$y = (x+3)b - (x+1)a$

$(x+1)a + (3+x)(-b) + y = 0$

この式は、直線 $y = (b-a)x - (3b+a)$ が常に、

$x + 1 = 0$ かつ $x + 3 = 0$ を満たす点を通ることを意味しない。

直線 $y = (b-a)x - (3b+a)$ が線分ABと共有点を持つ条件を考える。線分AB上の点は、 $A(-1, 5)$, $B(2, -1)$ より、

$AB: y - 5 = \frac{-1-5}{2-(-1)}(x - (-1)) = -2(x+1)$

$y = -2x + 3$

$-1 \leq x \leq 2$

この直線と与えられた直線が共有点を持つ条件を考える。

$y = (b-a)x - (3b+a)$

$y = -2x + 3$

$(b-a)x - (3b+a) = -2x + 3$

$(b-a+2)x = 3b+a+3$

$x = \frac{3b+a+3}{b-a+2}$

この $x$ が $-1 \leq x \leq 2$ の範囲にあればよい。

$-1 \leq \frac{3b+a+3}{b-a+2} \leq 2$

まず、$b-a+2 > 0$ のとき

$-(b-a+2) \leq 3b+a+3 \leq 2(b-a+2)$

$-b+a-2 \leq 3b+a+3 \leq 2b-2a+4$

$-b+a-2 \leq 3b+a+3 \Rightarrow 0 \leq 4b + 5 \Rightarrow b \geq -\frac{5}{4}$

$3b+a+3 \leq 2b-2a+4 \Rightarrow b+3a \leq 1 \Rightarrow b \leq -3a+1$

$b - a + 2 > 0 \Rightarrow b > a - 2$

次に、$b-a+2 < 0$ のとき

$-(b-a+2) \geq 3b+a+3 \geq 2(b-a+2)$

$-b+a-2 \geq 3b+a+3 \Rightarrow 0 \geq 4b + 5 \Rightarrow b \leq -\frac{5}{4}$

$3b+a+3 \geq 2b-2a+4 \Rightarrow b+3a \geq 1 \Rightarrow b \geq -3a+1$

$b - a + 2 < 0 \Rightarrow b < a - 2$

したがって、求める領域は、

$b \geq -\frac{5}{4}$, $b \leq -3a+1$, $b > a - 2$ または $b \leq -\frac{5}{4}$, $b \geq -3a+1$, $b < a - 2$ を満たす領域である。

3. 最終的な答え

$b \geq -\frac{5}{4}$, $b \leq -3a+1$, $b > a - 2$ または $b \leq -\frac{5}{4}$, $b \geq -3a+1$, $b < a - 2$ を満たす領域。

この領域は、 $b = -3a+1$ と $b = a-2$ の交点を求めると、$-3a+1 = a-2 \Rightarrow 4a=3 \Rightarrow a = \frac{3}{4}$, $b = -\frac{5}{4}$となる。

したがって、領域は直線$b = -3a + 1$と$b = a - 2$で区切られた、$b = - \frac{5}{4}$を境界とする領域となる。

最終的な答えは、図示された領域（$b = -3a+1$, $b = a-2$, $b = -5/4$で囲まれた領域）となる。