与えられた式を計算して簡単にします。 $$(x+y+z)^3 - (y+z-x)^3 - (z+x-y)^3 - (x+y-z)^3$$

1. 問題の内容

与えられた式を計算して簡単にします。

$$(x+y+z)^3 - (y+z-x)^3 - (z+x-y)^3 - (x+y-z)^3$$

2. 解き方の手順

まず、$A = x+y+z$, $B = y+z-x$, $C = z+x-y$, $D = x+y-z$ と置きます。

すると、与えられた式は $A^3 - B^3 - C^3 - D^3$ となります。

$A-B = (x+y+z) - (y+z-x) = 2x$

$A-C = (x+y+z) - (z+x-y) = 2y$

$A-D = (x+y+z) - (x+y-z) = 2z$

また、

$B+C+D = (y+z-x) + (z+x-y) + (x+y-z) = x+y+z = A$

よって、 $A-B-C-D=0$ となります。

ここで、$A=B+C+D$ を $A^3 - B^3 - C^3 - D^3$ に代入します。

$(B+C+D)^3 - B^3 - C^3 - D^3$

$= (B^3 + C^3 + D^3 + 3B^2C + 3B^2D + 3BC^2 + 6BCD + 3BD^2 + 3C^2D + 3CD^2) - B^3 - C^3 - D^3$

$= 3B^2C + 3B^2D + 3BC^2 + 6BCD + 3BD^2 + 3C^2D + 3CD^2$

$= 3(B^2C + B^2D + BC^2 + 2BCD + BD^2 + C^2D + CD^2)$

$= 3(B+C)(B+D)(C+D)$

ここで、$B, C, D$ を元の式に戻します。

$B+C = (y+z-x) + (z+x-y) = 2z$

$B+D = (y+z-x) + (x+y-z) = 2y$

$C+D = (z+x-y) + (x+y-z) = 2x$

したがって、

$3(B+C)(B+D)(C+D) = 3(2z)(2y)(2x) = 24xyz$

3. 最終的な答え

$24xyz$