与えられた平方根の数を、$a\sqrt{b}$ の形に変形する問題です。ただし、$a$ は整数、$b$ はできるだけ小さい整数とします。また、$16$ や $36$ の平方根を利用できる場合もあります。

はい、承知いたしました。問題を解いて、指定の形式で回答します。

1. 問題の内容

与えられた平方根の数を、$a\sqrt{b}$ の形に変形する問題です。ただし、$a$ は整数、$b$ はできるだけ小さい整数とします。また、$16$ や $36$ の平方根を利用できる場合もあります。

2. 解き方の手順

(1) $\sqrt{32}$

32を素因数分解すると $32 = 2^5 = 2^4 \times 2 = 16 \times 2$となります。したがって、

$\sqrt{32} = \sqrt{16 \times 2} = \sqrt{16} \times \sqrt{2} = 4\sqrt{2}$

(2) $\sqrt{48}$

48を素因数分解すると $48 = 2^4 \times 3 = 16 \times 3$となります。したがって、

$\sqrt{48} = \sqrt{16 \times 3} = \sqrt{16} \times \sqrt{3} = 4\sqrt{3}$

(3) $\sqrt{96}$

96を素因数分解すると $96 = 2^5 \times 3 = 2^4 \times 2 \times 3 = 16 \times 6$となります。したがって、

$\sqrt{96} = \sqrt{16 \times 6} = \sqrt{16} \times \sqrt{6} = 4\sqrt{6}$

(4) $\sqrt{80}$

80を素因数分解すると $80 = 2^4 \times 5 = 16 \times 5$となります。したがって、

$\sqrt{80} = \sqrt{16 \times 5} = \sqrt{16} \times \sqrt{5} = 4\sqrt{5}$

(5) $\sqrt{112}$

112を素因数分解すると $112 = 2^4 \times 7 = 16 \times 7$となります。したがって、

$\sqrt{112} = \sqrt{16 \times 7} = \sqrt{16} \times \sqrt{7} = 4\sqrt{7}$

(6) $\sqrt{50}$

50を素因数分解すると $50 = 2 \times 5^2 = 2 \times 25$となります。したがって、

$\sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = \sqrt{25} \times \sqrt{2} = 5\sqrt{2}$

(7) $\sqrt{72}$

72を素因数分解すると $72 = 2^3 \times 3^2 = 2 \times 2^2 \times 3^2 = 2 \times 4 \times 9 = 36 \times 2$となります。したがって、

$\sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} = \sqrt{36} \times \sqrt{2} = 6\sqrt{2}$

(8) $\sqrt{108}$

108を素因数分解すると $108 = 2^2 \times 3^3 = 2^2 \times 3^2 \times 3 = 4 \times 9 \times 3 = 36 \times 3$となります。したがって、

$\sqrt{108} = \sqrt{36 \times 3} = \sqrt{36} \times \sqrt{3} = 6\sqrt{3}$

(9) $\sqrt{216}$

216を素因数分解すると $216 = 2^3 \times 3^3 = 2 \times 2^2 \times 3 \times 3^2 = 2 \times 4 \times 3 \times 9 = 36 \times 6$となります。したがって、

$\sqrt{216} = \sqrt{36 \times 6} = \sqrt{36} \times \sqrt{6} = 6\sqrt{6}$

(10) $\sqrt{360}$

360を素因数分解すると $360 = 2^3 \times 3^2 \times 5 = 2 \times 2^2 \times 3^2 \times 5 = 2 \times 4 \times 9 \times 5 = 36 \times 10$となります。したがって、

$\sqrt{360} = \sqrt{36 \times 10} = \sqrt{36} \times \sqrt{10} = 6\sqrt{10}$

(11) $\sqrt{90}$

90を素因数分解すると $90 = 2 \times 3^2 \times 5 = 2 \times 9 \times 5$となります。したがって、

$\sqrt{90} = \sqrt{9 \times 10} = \sqrt{9} \times \sqrt{10} = 3\sqrt{10}$

(12) $\sqrt{120}$

120を素因数分解すると $120 = 2^3 \times 3 \times 5 = 2 \times 2^2 \times 3 \times 5 = 2 \times 4 \times 3 \times 5 = 4 \times 30$となります。したがって、

$\sqrt{120} = \sqrt{4 \times 30} = \sqrt{4} \times \sqrt{30} = 2\sqrt{30}$

3. 最終的な答え

(1) $4\sqrt{2}$

(2) $4\sqrt{3}$

(3) $4\sqrt{6}$

(4) $4\sqrt{5}$

(5) $4\sqrt{7}$

(6) $5\sqrt{2}$

(7) $6\sqrt{2}$

(8) $6\sqrt{3}$

(9) $6\sqrt{6}$

(10) $6\sqrt{10}$

(11) $3\sqrt{10}$

(12) $2\sqrt{30}$