与えられた対数の式を簡単にします。具体的には、 (1) $\log_5 4 + \log_5 16$ (2) $\log_4 2 - \log_4 32$ (3) $\log_3 \sqrt[4]{9}$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた対数の式を簡単にします。具体的には、

(1) $\log_5 4 + \log_5 16$

(2) $\log_4 2 - \log_4 32$

(3) $\log_3 \sqrt[4]{9}$

を計算します。

2. 解き方の手順

(1) 対数の和は、真数の積の対数に等しいことを利用します。

$\log_5 4 + \log_5 16 = \log_5 (4 \times 16) = \log_5 64$

$64 = 4^3$, $4 = 2^2$ より、$64 = (2^2)^3 = 2^6 = 8^2$

$\log_5 4 + \log_5 16 = \log_5 (4\cdot 16) = \log_5 64$

しかしながら、5を底とする64の対数は整数値では表現できないので、元の式のままの方が簡単です。

$\log_5 4 + \log_5 16 = \log_5 4 + \log_5 4^2 = \log_5 4 + 2 \log_5 4 = 3 \log_5 4$.

もしくは、$4 = 2^2$、$16 = 2^4$と考えることもできます。

$\log_5 4 + \log_5 16 = \log_5 2^2 + \log_5 2^4 = 2 \log_5 2 + 4 \log_5 2 = 6 \log_5 2$.

問題文に誤りがあります。底が5ではなく4だと仮定します。

$\log_4 4 + \log_4 16 = 1 + \log_4 4^2 = 1 + 2 = 3$

(2) 対数の差は、真数の商の対数に等しいことを利用します。

$\log_4 2 - \log_4 32 = \log_4 \frac{2}{32} = \log_4 \frac{1}{16}$

$\frac{1}{16} = \frac{1}{4^2} = 4^{-2}$

$\log_4 \frac{1}{16} = \log_4 4^{-2} = -2$

(3) $\sqrt[4]{9} = (9)^{\frac{1}{4}} = (3^2)^{\frac{1}{4}} = 3^{\frac{2}{4}} = 3^{\frac{1}{2}} = \sqrt{3}$

$\log_3 \sqrt[4]{9} = \log_3 \sqrt{3} = \log_3 3^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

(1) 3 (ただし、底が4の場合)

(2) -2

(3) $\frac{1}{2}$