$x, y, z$ は自然数であり、$x \le y \le z$ を満たすとき、$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 1$ を満たす $x, y, z$ の組 $(x, y, z)$ を全て求めよ。

1. 問題の内容

$x, y, z$ は自然数であり、$x \le y \le z$ を満たすとき、$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 1$ を満たす $x, y, z$ の組 $(x, y, z)$ を全て求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$x, y, z$ は自然数で $x \le y \le z$ なので、$\frac{1}{x} \ge \frac{1}{y} \ge \frac{1}{z}$ が成り立つ。

したがって、

$1 = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \le \frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{1}{x} = \frac{3}{x}$

より、$x \le 3$ が得られる。

(1) $x = 1$ のとき、$\frac{1}{1} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 1$ より $\frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 0$ となるが、$y, z$ は自然数なのでこれはありえない。

(2) $x = 2$ のとき、$\frac{1}{2} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 1$ より $\frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{1}{2}$ となる。

ここで、$y \le z$ より $\frac{1}{y} \ge \frac{1}{z}$ なので、

$\frac{1}{2} = \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \le \frac{1}{y} + \frac{1}{y} = \frac{2}{y}$

より、$y \le 4$ が得られる。また、$x \le y$ より $2 \le y$。

(i) $y = 2$ のとき、$\frac{1}{2} + \frac{1}{z} = \frac{1}{2}$ より $\frac{1}{z} = 0$ となるが、$z$ は自然数なのでこれはありえない。

(ii) $y = 3$ のとき、$\frac{1}{3} + \frac{1}{z} = \frac{1}{2}$ より $\frac{1}{z} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$ となり、$z = 6$。

(iii) $y = 4$ のとき、$\frac{1}{4} + \frac{1}{z} = \frac{1}{2}$ より $\frac{1}{z} = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$ となり、$z = 4$。

(3) $x = 3$ のとき、$\frac{1}{3} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 1$ より $\frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{2}{3}$ となる。

ここで、$y \le z$ より $\frac{1}{y} \ge \frac{1}{z}$ なので、

$\frac{2}{3} = \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \le \frac{1}{y} + \frac{1}{y} = \frac{2}{y}$

より、$y \le 3$ が得られる。また、$x \le y$ より $3 \le y$。よって、$y = 3$。

このとき、$\frac{1}{3} + \frac{1}{z} = \frac{2}{3}$ より $\frac{1}{z} = \frac{1}{3}$ となり、$z = 3$。

3. 最終的な答え

$(x, y, z) = (2, 3, 6), (2, 4, 4), (3, 3, 3)$