問題は、$x$ と $y$ が整数のとき、$x^2 + y^2$ が3の倍数であること、および $x^5 + y^5$ が3の倍数であることが、$x$ と $y$ がともに3の倍数であるためのどのような条件であるかを問うものです。選択肢は、(1) 必要十分条件、(2) 必要条件だが十分条件ではない、(3) 十分条件だが必要条件ではない、(4) 必要条件でも十分条件でもない、の4つです。

1. 問題の内容

問題は、$x$ と $y$ が整数のとき、$x^2 + y^2$ が3の倍数であること、および $x^5 + y^5$ が3の倍数であることが、$x$ と $y$ がともに3の倍数であるためのどのような条件であるかを問うものです。選択肢は、(1) 必要十分条件、(2) 必要条件だが十分条件ではない、(3) 十分条件だが必要条件ではない、(4) 必要条件でも十分条件でもない、の4つです。

2. 解き方の手順

**問3: $x^2 + y^2$ が3の倍数であること**

* $x$ と $y$ がともに3の倍数ならば、$x^2$ と $y^2$ も3の倍数であり、$x^2 + y^2$ も3の倍数となる。したがって、これは十分条件である。

* $x^2 + y^2$ が3の倍数であるとき、$x$ と $y$ がともに3の倍数でなくても、この条件を満たす場合があるかを考える。

$x$ と $y$ を3で割った余りを考えると、それぞれ0, 1, 2のいずれかである。したがって、$x^2$ と $y^2$ を3で割った余りは0または1である。$x^2 + y^2$ が3の倍数になるのは、$x^2$ と $y^2$ がともに3の倍数となる場合のみである。

したがって、$x$ と $y$ はともに3の倍数である必要がある。これは必要条件である。

* したがって、$x^2 + y^2$ が3の倍数であることは、$x$ と $y$ がともに3の倍数であるための必要十分条件である。

**問4: $x^5 + y^5$ が3の倍数であること**

* $x$ と $y$ がともに3の倍数ならば、$x^5$ と $y^5$ も3の倍数であり、$x^5 + y^5$ も3の倍数となる。したがって、これは十分条件である。

* $x^5 + y^5$ が3の倍数であるとき、$x$ と $y$ がともに3の倍数でなくても、この条件を満たす場合があるかを考える。

$x$ と $y$ を3で割った余りを考えると、それぞれ0, 1, 2のいずれかである。

$x \equiv 0 \pmod{3}$ のとき、$x^5 \equiv 0 \pmod{3}$.

$x \equiv 1 \pmod{3}$ のとき、$x^5 \equiv 1 \pmod{3}$.

$x \equiv 2 \pmod{3}$ のとき、$x^5 \equiv 2^5 \equiv 32 \equiv 2 \pmod{3}$.

したがって、$x^5$ と $y^5$ を3で割った余りは、0, 1, 2のいずれかである。

$x^5 + y^5 \equiv 0 \pmod{3}$ を満たすのは、

1. $x^5 \equiv 0 \pmod{3}$ かつ $y^5 \equiv 0 \pmod{3}$

2. $x^5 \equiv 1 \pmod{3}$ かつ $y^5 \equiv 2 \pmod{3}$

3. $x^5 \equiv 2 \pmod{3}$ かつ $y^5 \equiv 1 \pmod{3}$

1の場合、$x \equiv 0 \pmod{3}$ かつ $y \equiv 0 \pmod{3}$.

2の場合、$x \equiv 1 \pmod{3}$ かつ $y \equiv 2 \pmod{3}$.

3の場合、$x \equiv 2 \pmod{3}$ かつ $y \equiv 1 \pmod{3}$.

したがって、$x$ と $y$ はともに3の倍数である必要はない。これは必要条件ではない。

* したがって、$x^5 + y^5$ が3の倍数であることは、$x$ と $y$ がともに3の倍数であるための十分条件ではあるが、必要条件ではない。

3. 最終的な答え

問3: (1)

問4: (3)