自然数 $k$ に対して、$ (2k)!! = (2k) \times (2k-2) \times (2k-4) \times \dots \times 6 \times 4 \times 2$ と $(2k-1)!! = (2k-1) \times (2k-3) \times (2k-5) \times \dots \times 5 \times 3 \times 1$ が定義されている。このとき、等式 $m!! - m! = 2^n + 7$ を満たす自然数 $m, n$ の組を求める。

1. 問題の内容

自然数 $k$ に対して、$(2k)!! = (2k) \times (2k-2) \times (2k-4) \times \dots \times 6 \times 4 \times 2$ と $(2k-1)!! = (2k-1) \times (2k-3) \times (2k-5) \times \dots \times 5 \times 3 \times 1$ が定義されている。このとき、等式 $m!! - m! = 2^n + 7$ を満たす自然数 $m, n$ の組を求める。

2. 解き方の手順

まず、$m$ の値が小さい場合に、与えられた等式が成り立つかどうかを調べる。

* $m=1$ のとき、$1!! - 1! = 1 - 1 = 0 = 2^n + 7$ となる。これは成り立たない。

* $m=2$ のとき、$2!! - 2! = 2 - 2 = 0 = 2^n + 7$ となる。これは成り立たない。

* $m=3$ のとき、$3!! - 3! = 3 \times 1 - 3 \times 2 \times 1 = 3 - 6 = -3 = 2^n + 7$ となる。これも成り立たない。

* $m=4$ のとき、$4!! - 4! = 4 \times 2 - 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 8 - 24 = -16 = 2^n + 7$ となる。これも成り立たない。

* $m=5$ のとき、$5!! - 5! = 5 \times 3 \times 1 - 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 15 - 120 = -105 = 2^n + 7$ となる。これも成り立たない。

* $m=6$ のとき、$6!! - 6! = 6 \times 4 \times 2 - 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 48 - 720 = -672 = 2^n + 7$ となる。これも成り立たない。

* $m=7$ のとき、$7!! - 7! = 7 \times 5 \times 3 \times 1 - 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 105 - 5040 = -4935 = 2^n + 7$ となる。これも成り立たない。

* $m=8$ のとき、$8!! - 8! = 8 \times 6 \times 4 \times 2 - 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 384 - 40320 = -39936 = 2^n + 7$ となる。これも成り立たない。

上記のように $m$ が小さい場合は明らかに成り立たない。

ここで、$m=3$ のとき、$3!!=3$ であり、$3!=6$ である。

$m=4$ のとき、$4!! = 8$ であり、$4!=24$ である。

$m=5$ のとき、$5!! = 15$ であり、$5!=120$ である。

$m=6$ のとき、$6!! = 48$ であり、$6!=720$ である。

$m=7$ のとき、$7!! = 105$ であり、$7!=5040$ である。

$m=1,2,3,4,5,6,7$ を試すと、すべて $m!! - m! < 0$ となる。

また、$2^n + 7 > 0$ であるため、$m!! - m! = 2^n + 7$ は成り立たない。

しかし、$m!$ は $m$ が大きくなるにつれて急激に大きくなる。

$m!! - m! = 2^n + 7$ より、$m!! = 2^n + m! + 7$ が成り立つ。

$m=1$ から順に調べていく。

$m=1, 1!! - 1! = 0 = 2^n + 7$ より、$2^n = -7$ となり、これは成り立たない。

$m=2, 2!! - 2! = 2 - 2 = 0 = 2^n + 7$ より、$2^n = -7$ となり、これは成り立たない。

$m=3, 3!! - 3! = 3 - 6 = -3 = 2^n + 7$ より、$2^n = -10$ となり、これは成り立たない。

$m=8, 8!!-8!=2^n + 7$ を考えると、 $m$ が大きくなるほど、$m!$ が指数関数的に増大するため、$m!! - m!$ は負の方向に指数関数的に減少する。

ここで、$m=3$のとき、$3!! - 3! = 3 - 6 = -3 = 2^n + 7$となる。$2^n = -10$となるので、$n$は存在しない。

$m=3$を代入すると，$m!! - m! = 3!! - 3! = 3 - 6 = -3 = 2^n + 7$となる．

$2^n = -10$なので、$n$は整数にならない．

3. 最終的な答え

解なし