自然数 $k$ に対して、$ (2k)!! = (2k) \times (2k-2) \times (2k-4) \times \cdots \times 6 \times 4 \times 2$ および $(2k-1)!! = (2k-1) \times (2k-3) \times (2k-5) \times \cdots \times 5 \times 3 \times 1$ と定義する。このとき、等式 $$(2m)! - m! (2m-1)!! = \frac{(2^m-1)(2^n-8)}{2^m}$$ を満たす自然数の組 $(m,n)$ をすべて求めよ。

1. 問題の内容

自然数 $k$ に対して、$(2k)!! = (2k) \times (2k-2) \times (2k-4) \times \cdots \times 6 \times 4 \times 2$ および $(2k-1)!! = (2k-1) \times (2k-3) \times (2k-5) \times \cdots \times 5 \times 3 \times 1$ と定義する。このとき、等式

$$(2m)! - m! (2m-1)!! = \frac{(2^m-1)(2^n-8)}{2^m}$$

を満たす自然数の組 $(m,n)$ をすべて求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$(2m)!$ を変形する。

$$(2m)! = (2m)(2m-1)(2m-2) \cdots 2 \cdot 1 = (2m)!!(2m-1)!!$$

ここで、$(2m)!! = (2m)(2m-2)(2m-4) \cdots 4 \cdot 2 = 2^m m!$ であるから、

$$(2m)! = 2^m m! (2m-1)!!$$

与えられた等式に代入すると、

$$2^m m! (2m-1)!! - m! (2m-1)!! = \frac{(2^m-1)(2^n-8)}{2^m}$$

$$m! (2m-1)!! (2^m - 1) = \frac{(2^m-1)(2^n-8)}{2^m}$$

$2^m - 1 \neq 0$ であるから、両辺を $2^m - 1$ で割ると、

$$m! (2m-1)!! = \frac{2^n - 8}{2^m}$$

$$2^m m! (2m-1)!! = 2^n - 8$$

ここで、$2^m m! (2m-1)!! > 0$ であるから、$2^n - 8 > 0$ でなければならない。

よって、$2^n > 8 = 2^3$ より、$n > 3$ である。

$m = 1$ のとき、$2 \cdot 1! \cdot 1!! = 2 = 2^n - 8$ より、$2^n = 10$ となり、これは自然数 $n$ を持たない。

$m = 2$ のとき、$2^2 \cdot 2! \cdot 3!! = 4 \cdot 2 \cdot 3 = 24 = 2^n - 8$ より、$2^n = 32 = 2^5$ となり、$n = 5$ である。

$m = 3$ のとき、$2^3 \cdot 3! \cdot 5!! = 8 \cdot 6 \cdot 15 = 720 = 2^n - 8$ より、$2^n = 728$ となり、これは自然数 $n$ を持たない。

$m = 4$ のとき、$2^4 \cdot 4! \cdot 7!! = 16 \cdot 24 \cdot 105 = 40320 = 2^n - 8$ より、$2^n = 40328$ となり、これは自然数 $n$ を持たない。

$2^m m! (2m-1)!! = 2^n - 8$ を変形すると、

$$2^n = 2^m m! (2m-1)!! + 8$$

$m \ge 3$ のとき、$m!$ は $2$ で割り切れる。

$(2m-1)!! = (2m-1)(2m-3) \cdots 5 \cdot 3 \cdot 1$ は奇数である。

したがって、$2^m m! (2m-1)!!$ は $2^m$ で割り切れる。

$2^n = 2^m m! (2m-1)!! + 8$ であるから、$2^n - 8 = 2^m m! (2m-1)!!$ は $2^3$ で割り切れる。

よって、$2^m m! (2m-1)!!$ は $8$ で割り切れる。

$m \ge 3$ のとき、$2^n = 2^m m! (2m-1)!! + 8$ の右辺は $8$ で割り切れる。

よって、$2^n$ は $8$ で割り切れる。

したがって、$n \ge 3$ である。

$2^n = 2^3(2^{n-3}) = 8(2^{n-3})$

$2^m m! (2m-1)!! + 8 = 8(\frac{2^m m! (2m-1)!!}{8} + 1)$

したがって、$2^{n-3} = \frac{2^m m! (2m-1)!!}{8} + 1$

$(m,n) = (2,5)$ が解である。

3. 最終的な答え

$(m,n) = (2,5)$