自然数 $k$ に対して、二重階乗 $(2k)!!$ と $(2k-1)!!$ が $(2k)!! = (2k) \times (2k-2) \times (2k-4) \times \cdots \times 6 \times 4 \times 2$ $(2k-1)!! = (2k-1) \times (2k-3) \times (2k-5) \times \cdots \times 5 \times 3 \times 1$ と定義されている。このとき、等式 $m!! = 2^n - 8$ を満たす自然数の組 $(m, n)$ を求める問題である。

1. 問題の内容

自然数 $k$ に対して、二重階乗 $(2k)!!$ と $(2k-1)!!$ が

$(2k)!! = (2k) \times (2k-2) \times (2k-4) \times \cdots \times 6 \times 4 \times 2$

$(2k-1)!! = (2k-1) \times (2k-3) \times (2k-5) \times \cdots \times 5 \times 3 \times 1$

と定義されている。このとき、等式 $m!! = 2^n - 8$ を満たす自然数の組 $(m, n)$ を求める問題である。

2. 解き方の手順

$m!! = 2^n - 8$ を満たす自然数 $m, n$ の組を求める。

まず、$2^n - 8$ が正の整数であることから、$2^n > 8$ でなければならない。したがって、$n > 3$ である。

$m$ が偶数の場合を考える。$m=2k$ とおくと、

$m!! = (2k)!! = 2k \times (2k-2) \times (2k-4) \times \cdots \times 6 \times 4 \times 2 = 2^k k!$

したがって、$2^k k! = 2^n - 8$ となる。

$m$ が奇数の場合を考える。$m=2k-1$ とおくと、

$m!! = (2k-1)!! = (2k-1) \times (2k-3) \times \cdots \times 5 \times 3 \times 1$

したがって、$(2k-1)!! = 2^n - 8$ となる。

$n=4$ のとき、$2^n - 8 = 2^4 - 8 = 16 - 8 = 8$.

もし $m=4$ ならば、$m!! = 4!! = 4 \times 2 = 8$. よって $(m, n) = (4, 4)$ は解である。

$n=5$ のとき、$2^n - 8 = 2^5 - 8 = 32 - 8 = 24$.

もし $m=6$ ならば、$m!! = 6!! = 6 \times 4 \times 2 = 48$.

もし $m=5$ ならば、$m!! = 5!! = 5 \times 3 \times 1 = 15$.

$m=1$ のとき、$1!! = 1 = 2^n - 8$ より $2^n = 9$ となり、これを満たす自然数 $n$ は存在しない。

$m=2$ のとき、$2!! = 2 = 2^n - 8$ より $2^n = 10$ となり、これを満たす自然数 $n$ は存在しない。

$m=3$ のとき、$3!! = 3 \times 1 = 3 = 2^n - 8$ より $2^n = 11$ となり、これを満たす自然数 $n$ は存在しない。

$m=4$ のとき、$4!! = 4 \times 2 = 8 = 2^n - 8$ より $2^n = 16 = 2^4$ となり、$n=4$.

$m=5$ のとき、$5!! = 5 \times 3 \times 1 = 15 = 2^n - 8$ より $2^n = 23$ となり、これを満たす自然数 $n$ は存在しない。

$m=6$ のとき、$6!! = 6 \times 4 \times 2 = 48 = 2^n - 8$ より $2^n = 56$ となり、これを満たす自然数 $n$ は存在しない。

$m=7$ のとき、$7!! = 7 \times 5 \times 3 \times 1 = 105 = 2^n - 8$ より $2^n = 113$ となり、これを満たす自然数 $n$ は存在しない。

$m=8$ のとき、$8!! = 8 \times 6 \times 4 \times 2 = 384 = 2^n - 8$ より $2^n = 392$ となり、これを満たす自然数 $n$ は存在しない。

$m=4, n=4$ は条件を満たす。

3. 最終的な答え

$(m, n) = (4, 4)$