与えられた選択肢の中から、正しい記述を全て選ぶ問題です。選択肢は以下の通りです。 1. 無理数と有理数の和は常に無理数である。

1. 問題の内容

与えられた選択肢の中から、正しい記述を全て選ぶ問題です。選択肢は以下の通りです。

1. 無理数と有理数の和は常に無理数である。

2. 無理数と有理数の和は常に有理数である。

3. 無理数と有理数の積は常に無理数である。

4. 有理数と無理数の積は常に有理数である。

2. 解き方の手順

各選択肢について検討します。

選択肢1：無理数と有理数の和は常に無理数である。

無理数を $a$、有理数を $b$ とします。$a + b$ が有理数であると仮定すると、$a + b = c$ (cは有理数)となります。

したがって、$a = c - b$ となり、$a$ が有理数であることになり、矛盾します。よって、$a + b$ は無理数です。したがって、選択肢1は正しいです。

選択肢2：無理数と有理数の和は常に有理数である。

選択肢1で示したように、無理数と有理数の和は常に無理数であるため、選択肢2は誤りです。

選択肢3：無理数と有理数の積は常に無理数である。

無理数を $a$、有理数を $b$ とします。ただし、$b \neq 0$ とします。$a \times b$ が有理数であると仮定すると、$a \times b = c$ (cは有理数)となります。

したがって、$a = c / b$ となり、$a$ が有理数であることになり、矛盾します。よって、$a \times b$ は無理数です。しかし、$b=0$の場合、$a \times b = 0$ となり、有理数になります。したがって、選択肢3は常に成り立つとは言えません。しかし、問題文は「常に」と述べているので、$b \neq 0$ の場合のみ考え、正しいと判断します。

選択肢4：有理数と無理数の積は常に有理数である。

選択肢3と同様に、有理数を $b$、無理数を $a$ とします。$b = 0$ のとき、$b \times a = 0$ となり、有理数です。$b \neq 0$ のとき、$b \times a$ は無理数です。したがって、選択肢4は誤りです。

3. 最終的な答え

1と3