自然数 $k$ に対して、二重階乗を $(2k)!! = (2k) \times (2k-2) \times (2k-4) \times \cdots \times 6 \times 4 \times 2$ $(2k-1)!! = (2k-1) \times (2k-3) \times (2k-5) \times \cdots \times 5 \times 3 \times 1$ と定める。このとき、$(2m)! - (2m-1)!! = 2^n(2^n - 8)$ を満たす自然数の組 $(m, n)$ を求めよ。

1. 問題の内容

自然数 $k$ に対して、二重階乗を

$(2k)!! = (2k) \times (2k-2) \times (2k-4) \times \cdots \times 6 \times 4 \times 2$

$(2k-1)!! = (2k-1) \times (2k-3) \times (2k-5) \times \cdots \times 5 \times 3 \times 1$

と定める。このとき、$(2m)! - (2m-1)!! = 2^n(2^n - 8)$ を満たす自然数の組 $(m, n)$ を求めよ。

2. 解き方の手順

与えられた式を変形していく。まず、$(2m)!$を $(2m)!!$と $(2m-1)!!$を使って表すことを考える。

$(2m)! = (2m)(2m-1)(2m-2)(2m-3) \cdots 3 \cdot 2 \cdot 1$

$= (2m)(2m-2) \cdots 4 \cdot 2 \times (2m-1)(2m-3) \cdots 3 \cdot 1$

$= (2m)!! \times (2m-1)!!$

したがって、$(2m)! = (2m)!! (2m-1)!!$ となる。

また、$(2m)!! = 2m \times 2(m-1) \times 2(m-2) \times \cdots \times 2 \cdot 1 = 2^m m!$ である。

与えられた式 $(2m)! - (2m-1)!! = 2^n(2^n - 8)$ を変形する。

$(2m)!! (2m-1)!! - (2m-1)!! = 2^n(2^n - 8)$

$(2m-1)!! ((2m)!! - 1) = 2^n(2^n - 8)$

$(2m-1)!! (2^m m! - 1) = 2^n(2^n - 8)$

ここで、$2^n (2^n - 8)$ は偶数であるから、左辺も偶数でなければならない。

$(2m-1)!!$ は常に奇数なので、$2^m m! - 1$ が偶数でなければならない。

$2^m m! - 1$ が偶数であるためには、$2^m m!$ が奇数でなければならない。

$m \geq 1$ ならば $2^m m!$ は偶数であるため、$m=0$となるがこれは自然数という条件に反する。

ここで、問題文にタイプミスがあり、$(2m)!! - (2m-1)!! = 2^n(2^n - 8)$と考える。

$(2m)!! - (2m-1)!! = 2^m m! - (2m-1)!! = 2^n(2^n - 8)$

$m=1$のとき、$2^1 \cdot 1! - (2(1)-1)!! = 2 - 1 = 1$

$2^n(2^n - 8) = 1$となる$n$は存在しない。

$m=2$のとき、$2^2 \cdot 2! - (2(2)-1)!! = 8 - 3 = 5$

$2^n(2^n - 8) = 5$となる$n$は存在しない。

$m=3$のとき、$2^3 \cdot 3! - (2(3)-1)!! = 8 \cdot 6 - 5 \cdot 3 \cdot 1 = 48 - 15 = 33$

$2^n(2^n - 8) = 33$となる$n$は存在しない。

$m=4$のとき、$2^4 \cdot 4! - (2(4)-1)!! = 16 \cdot 24 - 7 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 1 = 384 - 105 = 279$

$2^n(2^n - 8) = 279$となる$n$は存在しない。

問題文の式が$(2m)! - (2m-1)!! = 2^n(2^n - 8)$ではなく$(2m)!! - (2m-1)!! = 2^k(2^n - 8)$である場合を考える。

$m=1$のとき，$2 - 1 = 1 = 2^k(2^n - 8)$

$k=0, 2^n - 8 = 1$, $2^n = 9$ となり、$n$は整数にならない。

$m=2$のとき、$8 - 3 = 5 = 2^k(2^n - 8)$

$k=0, 2^n - 8 = 5$, $2^n = 13$ となり、$n$は整数にならない。

$m=3$のとき、$48 - 15 = 33 = 2^k(2^n - 8)$

$k=0, 2^n - 8 = 33$, $2^n = 41$ となり、$n$は整数にならない。

問題文の式が$(2m)! - (2m-1)!! = 2^n(2^n - 2^3)$ となっているとすると、

$(2m)! - (2m-1)!! = 2^n(2^n - 2^3) = 2^{n+3}(2^{n-3} - 1)$

$m=4$, $(2m)! - (2m-1)!! = (2(4))! - (2(4)-1)!! = 8! - 7!! = 40320 - 105 = 40215$

$40215= 2^{n+3}(2^{n-3} - 1)$

$n+3$ は $40215$ を割り切る2のべき指数でなければならないので、そのような $n$ は存在しない。

問題文の式が$(2m)!! - (2m-1)!! = 2^k(2^n - 8)$ でなく $(2m)! - (2m-1)! = 2^n(2^n - 8)$の場合、

$m=1$, $2! - 1! = 2 - 1 = 1 = 2^n - 8$, $2^n = 9$ これは整数解を持たない。

$m=2$, $4! - 3! = 24 - 6 = 18 = 2^n - 8$, $2^n = 26$ これは整数解を持たない。

$m=3$, $6! - 5! = 720 - 120 = 600 = 2^n - 8$, $2^n = 608$ これは整数解を持たない。

問題文が $(2m)! - (2m-1)!! = 2^n (2^n - 8)$ではなく、$(2m)!! - (2m-1)!! = 2^n (2^3 - 2^n)$と仮定すると

$(2m)!! - (2m-1)!! = 2^n(8 - 2^n)$

$m=1, 2 - 1 = 1 = 2^n (8 - 2^n)$

$n=0, 1=1(8 - 1) = 7$ (矛盾)

$m=2, 8 - 3 = 5 = 2^n (8 - 2^n)$ (解なし)

$m=3, 48 - 15 = 33 = 2^n(8 - 2^n)$ (解なし)

3. 最終的な答え

問題文に誤りがある可能性が高い。正しい問題文がわかれば、再度回答します。