整数 $a$, $b$ について、積 $ab$ が 3 の倍数ならば、$a$ または $b$ は 3 の倍数であることを、対偶を考えることによって証明する。

1. 問題の内容

整数 $a$, $b$ について、積 $ab$ が 3 の倍数ならば、$a$ または $b$ は 3 の倍数であることを、対偶を考えることによって証明する。

2. 解き方の手順

対偶を考える。元の命題の対偶は「$a$ も $b$ も 3 の倍数でないならば、$ab$ は 3 の倍数でない」となる。

$a$ も $b$ も 3 の倍数でないとき、$a = 3k+1$ または $a = 3k+2$、$b = 3l+1$ または $b = 3l+2$ (ただし、$k, l$ は整数) と表せる。

(1) $a = 3k+1$ かつ $b = 3l+1$ のとき

$ab = (3k+1)(3l+1) = 9kl + 3k + 3l + 1 = 3(3kl + k + l) + 1$ となり、$ab$ は 3 の倍数ではない。

(2) $a = 3k+1$ かつ $b = 3l+2$ のとき

$ab = (3k+1)(3l+2) = 9kl + 6k + 3l + 2 = 3(3kl + 2k + l) + 2$ となり、$ab$ は 3 の倍数ではない。

(3) $a = 3k+2$ かつ $b = 3l+1$ のとき

$ab = (3k+2)(3l+1) = 9kl + 3k + 6l + 2 = 3(3kl + k + 2l) + 2$ となり、$ab$ は 3 の倍数ではない。

(4) $a = 3k+2$ かつ $b = 3l+2$ のとき

$ab = (3k+2)(3l+2) = 9kl + 6k + 6l + 4 = 9kl + 6k + 6l + 3 + 1 = 3(3kl + 2k + 2l + 1) + 1$ となり、$ab$ は 3 の倍数ではない。

いずれの場合も、$ab$ は 3 の倍数ではない。

したがって、対偶が真であることが示されたので、元の命題も真である。

3. 最終的な答え

整数 $a$, $b$ について、積 $ab$ が 3 の倍数ならば、$a$ または $b$ は 3 の倍数である。 (証明終わり)