$\sqrt{7}$ が無理数であることを用いて、$\sqrt{5} + \sqrt{7}$ が無理数であることを証明する問題です。

1. 問題の内容

$\sqrt{7}$ が無理数であることを用いて、$\sqrt{5} + \sqrt{7}$ が無理数であることを証明する問題です。

2. 解き方の手順

背理法を用いて証明します。

$\sqrt{5} + \sqrt{7}$ が有理数であると仮定します。このとき、ある有理数 $r$ が存在して、

$\sqrt{5} + \sqrt{7} = r$

と表せます。

両辺を2乗すると、

$(\sqrt{5} + \sqrt{7})^2 = r^2$

$5 + 2\sqrt{35} + 7 = r^2$

$12 + 2\sqrt{35} = r^2$

$2\sqrt{35} = r^2 - 12$

$\sqrt{35} = \frac{r^2 - 12}{2}$

$r$ は有理数なので、$r^2$ も有理数です。したがって、$\frac{r^2 - 12}{2}$ も有理数となります。

つまり、$\sqrt{35}$ は有理数であることになります。

次に、$\sqrt{35}$ は無理数であることを証明します。

$\sqrt{35}$ が有理数であると仮定すると、互いに素な自然数 $m, n$ を用いて、

$\sqrt{35} = \frac{m}{n}$

と表せます。

両辺を2乗すると、

$35 = \frac{m^2}{n^2}$

$35n^2 = m^2$

これは、$m^2$ が 35 の倍数であることを意味します。したがって、$m$ も 35 の倍数でなければなりません。

よって、ある自然数 $k$ を用いて、$m = 35k$ と表せます。

これを $35n^2 = m^2$ に代入すると、

$35n^2 = (35k)^2$

$35n^2 = 35^2k^2$

$n^2 = 35k^2$

これは、$n^2$ が 35 の倍数であることを意味します。したがって、$n$ も 35 の倍数でなければなりません。

$m$ と $n$ がともに 35 の倍数であることは、$m$ と $n$ が互いに素であるという仮定に矛盾します。

したがって、$\sqrt{35}$ は無理数です。

$\sqrt{35}$ が無理数であることと、$\sqrt{35} = \frac{r^2 - 12}{2}$ より $\sqrt{35}$ が有理数であることは矛盾します。

したがって、最初の仮定 $\sqrt{5} + \sqrt{7}$ が有理数であるという仮定が誤りであったことになります。

よって、$\sqrt{5} + \sqrt{7}$ は無理数です。

3. 最終的な答え

$\sqrt{5} + \sqrt{7}$ は無理数である。