与えられた条件を満たす2つの自然数 $a, b$ の組をすべて求める問題です。ただし、$a < b$ とします。 (1) $a + b = 160$ かつ 最大公約数が 8 (2) $ab = 300$ かつ 最小公倍数が 60

1. 問題の内容

与えられた条件を満たす2つの自然数 $a, b$ の組をすべて求める問題です。ただし、$a < b$ とします。

(1) $a + b = 160$ かつ 最大公約数が 8

(2) $ab = 300$ かつ 最小公倍数が 60

2. 解き方の手順

(1) $a, b$ の最大公約数が 8 であるから、$a = 8m, b = 8n$ ($m, n$ は互いに素な自然数で $m < n$) と表せる。

$a + b = 160$ より $8m + 8n = 160$。両辺を 8 で割ると $m + n = 20$。

$m < n$ で、$m, n$ は互いに素なので、$m + n = 20$ を満たす組 $(m, n)$ を探す。

(2) $a, b$ の積が 300, 最小公倍数が 60 であるから、$ab = 300$, $lcm(a, b) = 60$。

$a, b$ の最大公約数を $g$ とすると、$ab = g \times lcm(a, b)$ が成り立つ。

$300 = g \times 60$ より $g = 5$。

$a = 5m, b = 5n$ ($m, n$ は互いに素な自然数で $m < n$) と表せる。

$lcm(a, b) = 5mn = 60$ より $mn = 12$。

$m < n$ で、$m, n$ は互いに素なので、$mn = 12$ を満たす組 $(m, n)$ を探す。

(1) $m + n = 20$ かつ $m < n$ かつ $m, n$ は互いに素

$(m, n) = (1, 19), (3, 17), (7, 13), (9, 11)$

$(a, b) = (8, 152), (24, 136), (56, 104), (72, 88)$

(2) $mn = 12$ かつ $m < n$ かつ $m, n$ は互いに素

$(m, n) = (1, 12)$

$(a, b) = (5, 60)$

3. 最終的な答え

(1) $(a, b) = (8, 152), (24, 136), (56, 104), (72, 88)$

(2) $(a, b) = (5, 60)$