$m$, $n$, $k$ は自然数とする。命題「積 $mnk$ が偶数ならば、$m$, $n$, $k$ の少なくとも1つは偶数である」の逆、対偶、裏をそれぞれ述べ、それらの真偽を調べよ。

1. 問題の内容

$m$, $n$, $k$ は自然数とする。命題「積 $mnk$ が偶数ならば、$m$, $n$, $k$ の少なくとも1つは偶数である」の逆、対偶、裏をそれぞれ述べ、それらの真偽を調べよ。

2. 解き方の手順

与えられた命題をPとします。Pは「$mnk$が偶数 $\Rightarrow$ $m,n,k$の少なくとも1つは偶数」です。

(1) 逆

逆は、「$m$, $n$, $k$ の少なくとも1つが偶数ならば、$mnk$ は偶数である」です。

これは真です。なぜなら、$m$, $n$, $k$ のどれか一つでも偶数であれば、積 $mnk$ は必ず偶数になるからです。

(2) 対偶

対偶は、「$m$, $n$, $k$ のいずれも偶数でないならば、$mnk$ は偶数でない」です。

これは真です。対偶は元の命題と同値だからです。$m, n, k$ のいずれも偶数でないとき、$m, n, k$ はすべて奇数です。奇数同士の積は奇数なので、$mnk$ は奇数、つまり偶数ではありません。

(3) 裏

裏は、「$mnk$ が偶数でないならば、$m$, $n$, $k$ の少なくとも1つは偶数でない」です。

これは偽です。反例は$m=2, n=3, k=5$です。このとき、$mnk = 2 \times 3 \times 5 = 30$ は偶数であるため、$mnk$が偶数でないという仮定を満たしません。

元の命題Pは真です。$mnk$が偶数ならば、$m, n, k$の少なくとも1つは偶数です。これは、$m,n,k$が全て奇数ならば$mnk$は奇数という事から分かります。

3. 最終的な答え

* 逆：「$m$, $n$, $k$ の少なくとも1つが偶数ならば、$mnk$ は偶数である」。真。

* 対偶：「$m$, $n$, $k$ のいずれも偶数でないならば、$mnk$ は偶数でない」。真。

* 裏：「$mnk$ が偶数でないならば、$m$, $n$, $k$ の少なくとも1つは偶数でない」。偽。