自然数 $x$ と $y$ があり、$x$ は 7 の倍数、$y$ は 19 の倍数で、$xy = 3724$ を満たす。$x$ と $y$ が 1 以外の公約数を持たないとき、$x$ と $y$ の組を全て求めよ。

1. 問題の内容

自然数 $x$ と $y$ があり、$x$ は 7 の倍数、$y$ は 19 の倍数で、$xy = 3724$ を満たす。$x$ と $y$ が 1 以外の公約数を持たないとき、$x$ と $y$ の組を全て求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$3724$ を素因数分解する。

$3724 = 2^2 \times 7 \times 19 \times 7 = 2^2 \times 7^2 \times 19$

$x$ は 7 の倍数、$y$ は 19 の倍数であるから、$x = 7a$, $y = 19b$ とおくことができる。

ここで、$a, b$ は自然数である。

このとき、$xy = (7a)(19b) = 133ab = 3724$ より、

$ab = \frac{3724}{133} = 28$

$28 = 2^2 \times 7$

$x$ と $y$ が 1 以外の公約数を持たないという条件から、$a$ と $b$ が互いに素になる必要がある。

$a$ と $b$ の候補を考える。$ab = 28$ を満たす $a$ と $b$ の組み合わせは以下の通りである。

$(a, b) = (1, 28), (4, 7), (7, 4), (28, 1), (2, 14), (14, 2)$

このうち、$a$ と $b$ が互いに素である組み合わせは、$(1, 28), (4, 7), (7, 4), (28, 1)$ である。

$x = 7a$, $y = 19b$ なので、

$(a, b) = (1, 28)$ のとき、$(x, y) = (7, 532)$

$(a, b) = (4, 7)$ のとき、$(x, y) = (28, 133)$

$(a, b) = (7, 4)$ のとき、$(x, y) = (49, 76)$

$(a, b) = (28, 1)$ のとき、$(x, y) = (196, 19)$

ここで、再び$x$と$y$が1以外の公約数を持たないかを確認する。

(7, 532): $532 = 76 \times 7$であるので、公約数は7。条件を満たさない。

(28, 133): $28 = 2^2 \times 7, 133 = 7 \times 19$であるので、公約数は7。条件を満たさない。

(49, 76): $49 = 7^2, 76 = 2^2 \times 19$であるので、1以外の公約数を持たない。

(196, 19): $196 = 2^2 \times 7^2$であるので、1以外の公約数を持たない。

したがって、$x$と$y$が1以外の公約数を持たない組み合わせは (49, 76) と (196, 19) である。

3. 最終的な答え

(49, 76), (196, 19)