$\sqrt{7}$ が無理数であることを証明します。ただし、$n$ を自然数とするとき、$n^2$ が 7 の倍数ならば、$n$ は 7 の倍数であることを用いてよいものとします。

1. 問題の内容

$\sqrt{7}$ が無理数であることを証明します。ただし、$n$ を自然数とするとき、$n^2$ が 7 の倍数ならば、$n$ は 7 の倍数であることを用いてよいものとします。

2. 解き方の手順

背理法を用いて証明します。

* **ステップ1: 仮定**

$\sqrt{7}$ が無理数でないと仮定します。つまり、$\sqrt{7}$ が有理数であると仮定します。

* **ステップ2: 有理数の表現**

$\sqrt{7}$ が有理数であるならば、互いに素な自然数 $m$ と $n$ を用いて

$\sqrt{7} = \frac{m}{n}$

と表すことができます。

* **ステップ3: 式の変形**

両辺を2乗すると

$7 = \frac{m^2}{n^2}$

となります。さらに変形すると

$m^2 = 7n^2$

となります。

* **ステップ4: 倍数の判定**

この式から、$m^2$ は 7 の倍数であることがわかります。

問題文の条件から、$m$ は 7 の倍数となります。

したがって、$m = 7k$ ($k$ は自然数) と表すことができます。

* **ステップ5: 式の代入と変形**

$m = 7k$ を $m^2 = 7n^2$ に代入すると

$(7k)^2 = 7n^2$

$49k^2 = 7n^2$

$7k^2 = n^2$

となります。

* **ステップ6: 倍数の判定**

この式から、$n^2$ は 7 の倍数であることがわかります。

問題文の条件から、$n$ は 7 の倍数となります。

* **ステップ7: 矛盾の導出**

$m$ も $n$ も 7 の倍数であるため、$m$ と $n$ は互いに素であるという仮定に矛盾します。

* **ステップ8: 結論**

したがって、$\sqrt{7}$ が無理数でないという仮定が誤りであり、$\sqrt{7}$ は無理数です。

3. 最終的な答え

$\sqrt{7}$ は無理数である。