次の2つの不定方程式を満たす整数解 $(x, y)$ の組をそれぞれ1つ求める問題です。 (1) $42x + 29y = 2$ (2) $25x - 61y = 12$

1. 問題の内容

次の2つの不定方程式を満たす整数解 $(x, y)$ の組をそれぞれ1つ求める問題です。

(1) $42x + 29y = 2$

(2) $25x - 61y = 12$

2. 解き方の手順

(1) $42x + 29y = 2$ の場合

まず、 $42$ と $29$ の最大公約数をユークリッドの互除法で求めます。

$42 = 29 \times 1 + 13$

$29 = 13 \times 2 + 3$

$13 = 3 \times 4 + 1$

$3 = 1 \times 3 + 0$

よって、最大公約数は $1$ です。

次に、 $13 = 3 \times 4 + 1$ から、

$1 = 13 - 3 \times 4$

$3 = 29 - 13 \times 2$を代入すると、

$1 = 13 - (29 - 13 \times 2) \times 4$

$1 = 13 - 29 \times 4 + 13 \times 8$

$1 = 13 \times 9 - 29 \times 4$

$13 = 42 - 29 \times 1$を代入すると、

$1 = (42 - 29 \times 1) \times 9 - 29 \times 4$

$1 = 42 \times 9 - 29 \times 9 - 29 \times 4$

$1 = 42 \times 9 - 29 \times 13$

したがって、$42 \times 9 + 29 \times (-13) = 1$ が成り立ちます。

両辺を $2$ 倍すると、$42 \times 18 + 29 \times (-26) = 2$ となります。

よって、$x = 18, y = -26$ が解の一つです。

(2) $25x - 61y = 12$ の場合

まず、 $25$ と $61$ の最大公約数をユークリッドの互除法で求めます。

$61 = 25 \times 2 + 11$

$25 = 11 \times 2 + 3$

$11 = 3 \times 3 + 2$

$3 = 2 \times 1 + 1$

$2 = 1 \times 2 + 0$

よって、最大公約数は $1$ です。

次に、 $3 = 2 \times 1 + 1$ から、

$1 = 3 - 2 \times 1$

$2 = 11 - 3 \times 3$を代入すると、

$1 = 3 - (11 - 3 \times 3) \times 1$

$1 = 3 - 11 + 3 \times 3$

$1 = 3 \times 4 - 11$

$3 = 25 - 11 \times 2$を代入すると、

$1 = (25 - 11 \times 2) \times 4 - 11$

$1 = 25 \times 4 - 11 \times 8 - 11$

$1 = 25 \times 4 - 11 \times 9$

$11 = 61 - 25 \times 2$を代入すると、

$1 = 25 \times 4 - (61 - 25 \times 2) \times 9$

$1 = 25 \times 4 - 61 \times 9 + 25 \times 18$

$1 = 25 \times 22 - 61 \times 9$

したがって、$25 \times 22 - 61 \times 9 = 1$ が成り立ちます。

両辺を $12$ 倍すると、$25 \times 264 - 61 \times 108 = 12$ となります。

よって、$x = 264, y = 108$ が解の一つです。

3. 最終的な答え

(1) $(x, y) = (18, -26)$

(2) $(x, y) = (264, 108)$