自然数 $a_1, a_2$ に対して、漸化式 $a_{k+2} = |a_{k+1} - a_k|$ ($k = 1, 2, ...$) によって数列 $\{a_k\}$ を定める。この数列において初項から 0 ではない項が連続する個数を $n$ とする。つまり、$n$ は $a_{n+1} = 0$ を満たし、$k \le n$ なるすべての自然数 $k$ に対して $a_k > 0$ を満たす自然数である。このとき、以下の設問に答えよ。 (1) $a_1 = 2, a_2 = 3$ のとき、$a_4, a_7, a_{16}$ の値を求めよ。また、$a_1 = 3, a_2 = 6$ のとき、$a_5, a_{16}, a_{100}$ の値を求めよ。 (2) $a_1 = 3, a_2 = 2$ のとき、$n$ と $a_n$ の値を求めよ。また、$a_1 = 4, a_2 = 8$ のとき、$n$ と $a_n$ の値を求めよ。 (3) $a_1 = 15$ とする。このとき、$a_2 < a_1$ かつ $a_n = 1$ となる $a_2$ は全部で何個存在するか。 (4) $a_1 = m, a_2 = 1$ とする。ただし、$m$ は自然数である。このとき、$m$ が偶数であれば $n$ を求め、$m$ が奇数であれば $n$ を $m$ の 1 次式で表せ。

1. 問題の内容

自然数 $a_1, a_2$ に対して、漸化式 $a_{k+2} = |a_{k+1} - a_k|$ ($k = 1, 2, ...$) によって数列 $\{a_k\}$ を定める。この数列において初項から 0 ではない項が連続する個数を $n$ とする。つまり、$n$ は $a_{n+1} = 0$ を満たし、$k \le n$ なるすべての自然数 $k$ に対して $a_k > 0$ を満たす自然数である。このとき、以下の設問に答えよ。

(1) $a_1 = 2, a_2 = 3$ のとき、$a_4, a_7, a_{16}$ の値を求めよ。また、$a_1 = 3, a_2 = 6$ のとき、$a_5, a_{16}, a_{100}$ の値を求めよ。

(2) $a_1 = 3, a_2 = 2$ のとき、$n$ と $a_n$ の値を求めよ。また、$a_1 = 4, a_2 = 8$ のとき、$n$ と $a_n$ の値を求めよ。

(3) $a_1 = 15$ とする。このとき、$a_2 < a_1$ かつ $a_n = 1$ となる $a_2$ は全部で何個存在するか。

(4) $a_1 = m, a_2 = 1$ とする。ただし、$m$ は自然数である。このとき、$m$ が偶数であれば $n$ を求め、$m$ が奇数であれば $n$ を $m$ の 1 次式で表せ。

2. 解き方の手順

(1) $a_1 = 2, a_2 = 3$ のとき、

$a_3 = |3-2| = 1$

$a_4 = |1-3| = 2$

$a_5 = |2-1| = 1$

$a_6 = |1-2| = 1$

$a_7 = |1-1| = 0$

よって、$a_4 = 2$, $a_7 = 0$。

$n=6$ なので$a_{16} = a_{16-6\times 2} = a_4=2$.

$a_1 = 3, a_2 = 6$ のとき、

$a_3 = |6-3| = 3$

$a_4 = |3-6| = 3$

$a_5 = |3-3| = 0$

よって、$a_5 = 0$。$n=4$なので

$a_{16}= a_{16-4\times 4}=a_0$となり定義されない。しかし，$a_1 = 3, a_2 = 6$のとき，$a_k$の数列は$3, 6, 3, 3, 0, 3, 3, 0...$となるので，$k \ge 5$ では $a_k$ は $3, 3, 0$ の繰り返しとなる。よって、$a_{16} = 3$

同様に $a_{100} = 3$

(2) $a_1 = 3, a_2 = 2$ のとき、

$a_3 = |2-3| = 1$

$a_4 = |1-2| = 1$

$a_5 = |1-1| = 0$

よって、$n = 4$, $a_n = a_4 = 1$。

$a_1 = 4, a_2 = 8$ のとき、

$a_3 = |8-4| = 4$

$a_4 = |4-8| = 4$

$a_5 = |4-4| = 0$

よって、$n = 4$, $a_n = a_4 = 4$。

(3) $a_1 = 15$ のとき、$a_2 < 15$ であり、$a_n = 1$ となる $a_2$ を求める。

$a_2 = 1$ のとき、$a_3 = |1-15| = 14$, $a_4 = |14-1| = 13$, ... となる。

$a_2= k$ (1 <= k <15)のとき、$a_{n} = 1$となるのは、kが1, 2, 3, 4, 5, 6, 7のとき

$a_2= 5$ のとき、数列は $15, 5, 10, 5, 5, 0$ $n= 5$ なので$a_n= a_5 = 5 \neq 1$

$a_2= 6$ のとき、数列は $15, 6, 9, 3, 6, 3, 3, 0$ $n= 7$ なので$a_n= a_7 = 3 \neq 1$

$a_2 = 14$ のとき、$a_3 = 1$, $a_4 = 13$, $a_5 = 12$ となる。

$a_1=15, a_2=a$の数列が$a_n=1$となるとき、

$a_{n+1}=0$となる。

$15,a,15-a,\cdots,1,0$

$gcd(15,a)=1$の時，$a_n=1$になる.

$15=3*5$なので, $gcd(a,15) \ne 1$ となるのは, $a=3,6,9,12$, $a=5,10$ つまり, 6個.

よって，$1<=a<=14$でgcdが1となるのは、$14-6 = 8$個

(4) $a_1 = m, a_2 = 1$ とする。$m$ が偶数のとき、

$a_3 = |1-m| = m-1$

$a_4 = |m-1-1| = m-2$

...

$a_m = 1$

$a_{m+1} = 0$

よって、$n = m$。

$m$ が奇数のとき、

$a_3 = |1-m| = m-1$

$a_4 = |m-1-1| = m-2$

...

$a_{m} = 1$

$a_{m+1}= |1-1| =0$

...

$n= 2m$となる?

$m=3$, $a_1 = 3, a_2 = 1, a_3 = 2, a_4 = 1, a_5 = 1, a_6=0, n = 5 = 2m-1$

$m=5$, $a_1 = 5, a_2 = 1, a_3 = 4, a_4 = 3, a_5 = 1, a_6 = 2 , a_7 =1, a_8 = 1, a_9 = 0$. $n=8 =2m-2$

$a_{2m}=|1-1|=0$.

よって、$n = m$ （$m$ が偶数のとき）

$n=2m-1$ （$m$ が奇数のとき）

3. 最終的な答え

ア: 2

イ: 0

ウ: 2

エ: 0

オ: 3

カ: 3

キ: 4

ク: 1

ケ: 4

コ: 4

サ: 8

シ: m

ス: 2m-1